Funciones Y Relaciones

Relaciones

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema.

Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”.

Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).

Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos.

Un ejemplo:

R : x < y .

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a R b de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

Ejemplos:

* Para A= {a, b, c}

R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)}

⇒ R = A× A 1

* Para A = {España, Inglaterra, Italia}

B= {Paris, Roma, Madrid}

R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)

* R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

Esta relación puede ser: ... hermano de...

Otro ejemplo:

A = {Familia Rodríguez}

Miembro Edad Peso Estatura

Papá Alfonso (A) 42 77 1.80

Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68

Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88

Hijo 2 David (D) 17 66 1.63

Hijo 3 Elena (E) 15 48 1.53

R1: …es papá de… (A, C) (A, D) (A, E)

R2: …es más alto que… (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D)

(B, E) (D, E).

R3: …es más grande que… (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D)(B, E) (A, E)

Representaciones gráficas de relaciones

Gráfica de relaciones no numéricas

Diagrama de flechas

1 2 3 4

(x, y) ( y, y) ( y, z) (z, x)

Relación: ...es más grande que...

Nomenclatura para relaciones (R)

• R = {(x, y) / x < y} relación: x < y

• Es menor que ={(x, y) / x < y}

• x R y si R: ...es menor que...

Definición:

Sea R una relación a R b ⇒ = (a ,b ) ∈

Ejemplo:

R = {(x, y),( y, z),( y, y),(z, z)}

z R y es verdadera? no

y R z es verdadera? Si

Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R?

R = {(x, y), (x, z), (z, y), (y, z), (z, z)}

Clasificación de relaciones

- Relaciones de equivalencia

- Relaciones de orden

- Funciones

Relaciones de equivalencia

Características (propiedades)

Reflexividad: xRx : ∀x∈S ⇒ xRx ( x está relacionada con x )

Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase

S = {Pedro, Javier, Esteban}

R : está en la misma habitación

Pedro R Pedro → reflexividad

Simetría: ∀x, y∈S . Si x y y x R ⇒ R

Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro

Transitiva: ∀x, y, z ∈S Si xRy y yRz⇒ xRz

Ejemplo: Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R Esteban

Definición:

Una relación R, definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos:

R : x < y R : x ≤ y S = {a, b, c}

R = {(a, a), (c, c), (a, c), (c, a)}

Reflexiva? 3 < 3 Reflexiva? 3 ≤ 3 Reflexiva?

aRa cRc bRb

Simétrica? 3 < 5 y 5 < 3 Simétrica? 3 ≤ 5 y 5 ≤ 3 Simétrica? aRc cRa

Transitiva? 3 < 5

5 < 6⇒3 < 6 Transitiva? 3 ≤ 5

5 ≤ 6⇒3 ≤ 6 Transitiva? aRc

cRb→ no

aRb →no

Relación equivalente

X tiene la misma paridad (que sea par o impar)

3 tiene la misma paridad que 3 → Reflexiva

3 tiene la misma paridad que 5 Simétrica

5 tiene la misma paridad que 3

5 tiene la misma paridad que 7 Transitiva

Relación de orden parcial

En matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es anti simétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a X si a está relacionado con b y b está relacionado con a entonces a = b.

En notación de conjuntos:

La relación ser más alto que es una relación anti simétrica dado que a es más alto que b y b es más alto que a no pueden cumplirse al mismo tiempo. Nótese que la anti simetría no es lo opuesto de la simetría ( a R b y b R a implican b = a). Existen relaciones que son simétricas y anti simétricas al mismo tiempo (como la relación de igualdad), relaciones que no son simétricas ni anti simétricas (como la relación de divisibilidad), relaciones que son simétricas pero no anti simétricas (como la relación de congruencia módulo n), y relaciones que son anti simétricas pero no simétricas (la relación "es menor que" ). La relación ser menor o igual también es anti simétrica dado que si a es

menor o igual que b y b es menor o igual que a es porque a = b.

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