Funciones Y Relaciones

Relaciones

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema.

Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”.

Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).

Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos.

Un ejemplo:

R : x < y .

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a R b de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

Ejemplos:

* Para A= {a, b, c}

R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)}

⇒ R = A× A 1

* Para A = {España, Inglaterra, Italia}

B= {Paris, Roma, Madrid}

R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)

* R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

Esta relación puede ser: ... hermano de...

Otro ejemplo:

A = {Familia Rodríguez}

Miembro Edad Peso Estatura

Papá Alfonso (A) 42 77 1.80

Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68

Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88

Hijo 2 David (D) 17 66 1.63

Hijo 3 Elena (E) 15 48 1.53

R1: …es papá de… (A, C) (A, D) (A, E)

R2: …es más alto que… (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D)

(B, E) (D, E).

R3: …es más grande que… (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D)(B, E) (A, E)

Representaciones gráficas de relaciones

Gráfica de relaciones no numéricas

Diagrama de flechas

1 2 3 4

(x, y) ( y, y) ( y, z) (z, x)

Relación: ...es más grande que...

Nomenclatura para relaciones (R)

• R = {(x, y) / x < y} relación: x < y

• Es menor que ={(x, y) / x < y}

• x R y si R: ...es menor que...

Definición:

Sea R una relación a R b ⇒ = (a ,b ) ∈

Ejemplo:

R = {(x, y),( y, z),( y, y),(z, z)}

z R y es verdadera? no

y R z es verdadera? Si

Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R?

R = {(x, y), (x, z), (z, y), (y, z), (z, z)}

Clasificación de relaciones

- Relaciones de equivalencia

- Relaciones de orden

- Funciones

Relaciones de equivalencia

Características (propiedades)

Reflexividad: xRx : ∀x∈S ⇒ xRx ( x está relacionada con x )

Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase

S = {Pedro, Javier, Esteban}

R : está en la misma habitación

Pedro R Pedro → reflexividad

Simetría: ∀x, y∈S . Si x y y x R ⇒ R

Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro

Transitiva: ∀x, y, z ∈S Si xRy y yRz⇒ xRz

Ejemplo: Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R Esteban

Definición:

Una relación R, definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos:

R : x < y R : x ≤ y S = {a, b, c}

R = {(a, a), (c, c), (a, c), (c, a)}

Reflexiva? 3 < 3 Reflexiva? 3 ≤ 3 Reflexiva?

aRa cRc bRb

Simétrica? 3 < 5 y 5 < 3 Simétrica? 3 ≤ 5 y 5 ≤ 3 Simétrica? aRc cRa

Transitiva? 3 < 5

5 < 6⇒3 < 6 Transitiva? 3 ≤ 5

5 ≤ 6⇒3 ≤ 6 Transitiva? aRc

cRb→ no

aRb →no

Relación equivalente

X tiene la misma paridad (que sea par o impar)

3 tiene la misma paridad que 3 →

...