Gráfica de funciones de dos variables

Gráfica de funciones de dos variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.

Definición (gráfica de funciones de dos variables)

La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir,

Observación : La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en (figura 1).

Figura 1.

Superficies

Debido a que muchas de las superficies con las que trabajaremos no provienen de una función , es necesario extender nuestra definición de gráfica.

Definición (superficie)

La gráfica de la ecuación es el conjunto de puntos tales que satisfacen ésta ecuación. Usualmente nos referimos a la gráfica de una ecuación como una superficie .

Definición (traza de una superficie)

La traza de una superficie en el plano , es la curva que resulta de la intersección entre ambos.

Ejemplo 2

Compruebe que la traza de la esfera

sobre el plano es una elipse.

Solución

Para hallar la ecuación de la traza debemos resolver el siguiente sistema

que resulta ser una elipse:

No se acostumbra escribir una curva en la forma anterior pues es difícil de manejar, resulta mucho más cómodo y provechoso trabajar con curvas planas o en el espacio, dadas en forma paramétrica. En este caso la curva se puede escribir paramétricamente como:

con . La curva y las superficies se muestran en la figura 4.

Figura 4.

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