ALICACIONES DE LA DERIVADA

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE

ALVARADO.

CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD: 5

ALICACIONES DE LA DERIVADA

IMPARTE: RAFAEL ZAMUDIO

ELABORO: JUAN MANUEL GARCIA LARA

INDICE:

Contenido. N° de paginas.

UNIDAD 5. ALICACIONES DE LA DERIVADA 3

5.1 recta tangente y recta normal a una curva en un punto 3

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL. 5

5.3.- FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE, MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS, CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXION, CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS. 14

5.4.- ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNSIONES. 24

5.5.- CALCULO DE APROXIMACIONES UTILIZANDO LA DIFERENCIAL 34

5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS 36

Bibliografía 39

5. ALICACIONES DE LA DERIVADA.

A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las

funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica

de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener

información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.

5.1. Recta tangente y recta normal.

Idea intuitiva de recta tangente. Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta

Tangente a una circunferencias en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.

- Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto?

- Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?

Definición.15 Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la misma dirección que la curva.

En un punto de inflexión la tangente atraviesa la curva. Pudiéndose distinguir tres tipos de puntos de inflexión: De tangente vertical, horizontal y oblicua.

En un punto anguloso, de desvío brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o la tangente es vertical ( ver gura de recta vertical). La tangente no puede ser oblicua, ya que este caso la correspondencia no sería función.

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

• Teorema de Rolle.

El teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.

f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función poli nómica.

Además se cumple que:

f(−1) = f(0) = f(1) = 0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?

La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función poli nómica.

No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).

4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.

Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.

Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:

f(x1) = f(x2) = 0

Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c (x1, x2) tal que f' (c) = 0.

f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).

Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discrimínate es negativo:

Δ = 9 − 24 < 0.

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.

5.¿Cuántas raíces tiene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 = 0?

La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en •

Teorema de Bolzano.

f(0) = −25

f(2) = 37

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 3x2 + 12x +15

Dado que la derivada no se anula, ya que su discriminante es negativa, la función es estrictamente creciente y posee una única raíz.

6.Demostrar que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 una única solución real en el intervalo (0, 1).

La función f(x) = 2x3 − 6x + 1 es continua y derivable en •

Teorema de Bolzano.

f(0) = 1

f(1) = −3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0

La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede haber dos raíces en el intervalo (0, 1).

• TEOREMA DE LANGRANGE.

Si f(x) es continua

...