ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

Cuando se habla de análisis dimensional y similitud se refiere a la ingeniería de la vida real, cuando las ecuaciones son muy difíciles de resolver o no se saben cuáles son, el método de la experimentación es un método de obtener información confiables, en la mayoría de estos experimentos se hacen a escala geométrica para ahorrar tiempo y dinero, por esta razón no se hacen con un prototipo a escala real. En este caso, se debe tener cuidado de escalar adecuadamente los resultados, y en este momento se usa una poderosa técnica llamada análisis dimensional. El análisis dimensional se usa en muchas disciplinas no solo en mecánica de fluidos como se piensa usualmente, se usa cuando es necesario diseñar y realizar experimentos, según Potter en su libro dice que el análisis dimensional está basado en la noción de la homogeneidad dimensional, En el que todos los términos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones, por ejemplo si le ecuación de Bernoulli se escribe:

Como la dimensión que se maneja es longitud, si se saca Z1 de la izquierda como factor y Z2 de la derecha se tendrá:

En esta nueva ecuación obtenida los términos aparecen sin dimensiones y la ecuación se escribió como una combinación de parámetros sin dimensiones.

De acuerdo con la dificultad para hallar el flujo en submarinos, aves espaciales, y en cosas demasiado pequeñas como aspas de turbina, tubos capilares, flujo alrededor de un microorganismo se debe usar un modelo mayor que el prototipo para tener mejor grado de precisión en los datos a obtener.

Los propósitos principales del análisis dimensional son:

Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos (ya sean físicos y o numéricos) y en el reporte de los resultados experimentales.

Tener leyes de escalamiento de modo que se queda predecir el desempeño del prototipo a partir del desempeño del modelo.

Predecir las tendencias en la relación entre parámetros

La similitud es el estudio de predecir condiciones del prototipo a partir de observaciones en modelos, lo que implica el uso de parámetros sin dimensiones obtenidos en un análisis dimensional, existen dos parámetros para el estudio de análisis dimensional. 1. Teorema de Buckingham y el 2. Es extraer parámetros sin dimensiones que afectan a una situación de flujo particular de las ecuaciones diferenciales.

Análisis Dimensional

Cuando se hable del estudio de fenómenos con flujo de fluidos intervienen por lo general un gran número de parámetros de flujo y geométricos. Y es conveniente poder utilizar el mínimo número de combinaciones posibles entre los parámetros. Se toma por ejemplo la caída de presión ΔP a través de una válvula corrediza como la mostrada en la figura. Si queremos analizar la caída de presión podríamos suponer que esta depende de las variables siguientes:

La velocidad promedio en la tubería V ,La densidad del fluido ρ ,La viscosidad del fluido μ , El diámetro de la tubería D, La abertura de la válvula h Esto puede expresarse matemáticamente como: ΔP = f ( ) V, ρ,μ,d,h

Fijar todos los parámetros excepto uno, por ejemplo la velocidad, y analizar la relación entre este parámetro y la caída de presión. Podríamos hacer este experimento para varios valores de uno de los otros parámetros, por ejemplo el diámetro de la tubería. Se podría obtener así los resultados de la figura: Luego podríamos repetir el estudio fijando otro jugo de parámetros y dejando libre a otros. Este método puede ser útil pero requiere del estudio de muchas combinaciones de parámetros.

Hay un método que permite obtener de una forma simple relaciones adimensionales entre los parámetros que influyen en un determinado fenómeno, este método es denominado Teorema π de Buckingham.

EL teorema de Buckingham

Estipula que (n-m) grupos de variables sin dimensiones, llamados términos pi, donde m es el número de dimensiones básicas incluidas en las variables pueden ser relacionadas por

(π)1=f(π2, π3,……. ,πn-m)

Donde (π)1 incluye la variable dependiente y los términos (π) restantes incluyen solo variables independientes, para la aplicación exitosa del análisis dimensional es que una dimensión debe ocurrir por lo menos dos veces o ninguna, el procedimiento utilizado para aplicar este teorema es el siguiente:

1 Haga una lista de los parámetros (variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales) y cuéntelos. Sea n el número total de parámetros en el problema, inclusive la variable dependiente.

2 Haga una lista con las dimensiones primarias para cada uno de los n parámetros.

3 Suponga la reducción j. Como primera suposición, haga j igual al número De dimensiones primarias representadas en el problema. El número esperado de ’ (k) es igual a n menos j, de acuerdo con el teorema Pi de Buckingham, Si en este paso, o durante algún paso subsecuente, el análisis no funciona, verifique que haya incluido suficientes parámetros en el paso 1.

4 Elegir los j parámetros repetitivos que usará para construir cada P. Dado que

Los parámetros repetitivos tienen el potencial para aparecer en cada ,

Cerciórese de elegirlos atinadamente.

5 Genere la pi una a la vez mediante el agrupamiento de los j parámetros repetitivos con uno de los parámetros restantes, y fuerce el producto a ser adimensional. De esta manera, construya todas las k ’s. Por costumbre, la primera, designada 1, es la dependiente (la que está en el lado izquierdo de la lista). Utilice las como sea necesario para lograr establecer grupos adimensionales.

6 Verifique que todas las de hecho sean adimensionales. Escriba la relación Funcional final en la forma de la ecuación

Parámetros comunes sin dimensiones:

Unos ejemplos de parámetros sin dimensiones o pi comunes establecidos que se encuentran en la mecánica de fluidos y la trasferencia de calor

-Número de Reynolds

Según la tabla a continuación: ρ: densidad; V: velocidad del fluido; D: diámetro de la tubería; μ: viscosidad; v: viscosidad cinemática. Representa el estudio de la transición entre flujo laminar y flujo turbulento en un tubo. Y se usa para una semejanza dinámica con predominio de la viscosidad.

-Número de Mach

c: velocidad del sonido en el fluido. Caracteriza los efectos de compresibilidad en el fluido. Y se usa para una semejanza dinámica con predominio de la elasticidad.

-Número de Froude

Caracteriza los efectos de las fuerzas gravitacionales. Y se usa para una semejanza dinámica con predominio de la gravedad.

-Número de Euler

ΔP: presión local – presión corriente arriba. Este caracteriza la presión en forma adimensional. Se usa para semejanza dinámica en gradiente de presiones. Por ejemplo en pruebas aerodinámicas y de otro tipo en modelos, en donde la caída de presión es significativa.

Similitud

Es principal conocer el concepto subyacente de análisis dimensional antes de estudiar la técnica del análisis dimensional. Se comienza con conocer el principio de la similitud. Existen tres condiciones necesarias para la similitud completa entre un prototipo y un modelo. Primera condición es la similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por algún factor de escala constante.

La segunda similitud cinemática: la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional (conociendo un factor de escala constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. Específicamente, para similitud cinemática la velocidad en puntos correspondientes debe escalar en magnitud y debe apuntar en la misma dirección relativa. La similitud geométrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud y la similitud cinemática como equivalencia en escala de tiempo. La similitud geométrica es un requisito para la similitud cinemática. Tal como el factor de escala geométrica puede ser menor que, igual a, o mayor que uno; del mismo modo puede ser el factor de escala de velocidad.

Sacada del libro de Yonus A. Çengel

En la figura mostrada, se explica que, el factor de escala geométrico es menor que uno (el modelo es más pequeño que el prototipo), pero la escala de velocidad es mayor que uno (las velocidades alrededor del modelo son mayores que las que están alrededor del prototipo). Las líneas de corriente son fenómenos cinemáticos; por lo tanto, el patrón de líneas de corriente en el flujo del modelo es una copia a escala geométrica de las líneas en el flujo del prototipo cuando se logra la similitud cinemática.

Cuando los flujos tienen distribuciones de fuerzas tales que en puntos correspondientes de ambos flujos (modelo y prototipo), los tipos idénticos de fuerzas son paralelos y se relacionan en magnitud por un factor de escala λ en todos los puntos correspondientes. La forma de comparar un modelo con un prototipo es con los parámetros adimensionales, por lo general se pueden utilizar los conocidos, según el tipo de fenómeno que se quiera estudiar, es decir: •

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