ANÁLISIS DIMENSIONAL Y TEORIA DE LOS MODELOS

                     TEMA 3

                             ANÁLISIS DIMENSIONAL Y TEORIA DE LOS MODELOS

UNA TÉCNICA MUY ÚTIL PARA REDUCIR AL MÍNIMO DE EXPERIMENTOS REQUERIDOS EN UN PROBLEMA ES EL ANÁLISIS DIMENSIONAL.

ANÁLISIS DIMENSIONAL  ES LA MATEMÁTICA DE LAS DIMENSIONES Y DE LAS CANTIDADES, QUE PROPORCIONA TÉCNICAS Y PROCEDIMIENTOS EN DONDE LAS VARIABLES, QUE EN UN PROBLEMA SON SIGNIFICATIVAS, PUEDEN SER TRADUCIDAS EN PARÁMETROS ADIMENSIONALES. EL ANÁLISIS DIMENSIONAL ES ÚTIL EN TODAS LAS DISCIPLINAS, ESPECIALMENTE CUANDO ES NECESARIO DISEÑAR Y REALIZAR EXPERIMENTOS. LOS TRES PROPÓSITOS PRINCIPALES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL SON:

1. GENERAR PARÁMETROS ADIMENSIONALES QUE AYUDEN EN EL DISEÑO DE EXPERIMENTOS (FÍSICOS Y/O NUMÉRICOS) Y EN EL REPORTE DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES.
2. OBTENER LEYES DE ESCALAMIENTO DE MODO QUE SE PUEDA PREDECIR EL DESEMPEÑO DEL PROTOTIPO A PARTIR DEL DESEMPEÑO DEL MODELO.
3. PREDECIR (A VECES) LAS TENDENCIAS EN LA RELACIÓN ENTRE PARÁMETROS.

                             PRINCIPIO DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

ESTE ESTABLECE QUE, CUALQUIER ECUACIÓN DEDUCIDA ANALÍTICAMENTE Y QUE REPRESENTA UN FENÓMENO FÍSICO DEBE SATISFACERSE EN CUALQUIER SISTEMA DE UNIDADES.

LOS DOS MÉTODOS FORMALES DE ANÁLISIS DIMENSIONAL QUE SE EMPLEAN SON:

                   EL MÉTODO DE LORD RAYLEIGH Y EL TEOREMA  π  DE BUCKINGHAM

EL MÉTODO DE RAYLEIGH UTILIZA EL ÁLGEBRA PARA DETERMINAR LAS INTERELACIONES ENTRE LAS VARIABLES. ESTE MÉTODO SE BASA EN LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL PARA OBTENER ECUACIONES; ES RECOMENDADO CUANDO EXISTEN CUATRO O MENOS VARIABLES. PARA EL MÉTODO SE TOMARÁ COMO EJEMPLO LA FUERZA DE ARRASTRE “Fd”  QUE ACTÚA SOBRE UNA ESFERA QUE SE MUEVE A TRAVÉS DE UN LÍQUIDO VISCOSO.

1. DETERMINAR LAS VARIABLES, SE SUGIERE UNA LONGITUD Y VELOCIDAD Y LA PROPIEDADES DEL FLUIDO. PARA EL EJEMPLO, DIÁMETRO Y VELOCIDAD DE LA ESFERA, DENSIDAD Y VISCOSIDAD DEL FLUIDO.
2. SE HACE UNA LISTA DE LAS VARIABLES CON SUS DIMENSIONES.

              VARIABLE                        SIMBOLO                 DIMENSIÓN

               FUERZA                                   Fd                                              M x L/T²

            LONGITUD                                  D                                  L

           VELOCIDAD                                 V                                  L/T

           DENSIDAD                                   𝜌                                  M/L³

           VISCOSIDAD                                 µ                                M/LT

1. SE DEFINE UNA RELACIÓN FUNCIONAL DE LAS VARIABLES EN UN SISTEMA DIMENSIONAL; PARA EL EJEMPLO SE USARÁ  (M L T).

                           Fd = f( D,V,𝜌,µ )         DE ACUERDO A LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL:

                Fd = C  DA  VB  𝜌C  µD     DONDE  “C”  ES UN CTE.  ADIMENSIONAL EN TÉRMINOS DE LAS DIMENSIONES:

M L T-2 = LA  (L/T)B  (M/L³)C  (M/LT)D  =  MC+D   LA+B-3C-D   T –B-D

1. SE SATISFASE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL POR LO TANTO:

                             1 = C + D----1;      1 = A + B -3C –D-----2;    -2 = - B – D------3

RESOLVIENDO EL SISTEMA EN TÉRMINOS DE  “D”  DEBIDO A QUE SE TIENE  3  ECUACIONES  Y  4  INCOGNITAS:

                    DE  (1)  DESPEJAMOS  “C”:   C = 1 – D-----4;    DE 3  DESP.  “B”:       B = 2 – D-----5

LLEVANDO  (4)  Y  (5)  A   (2):     1 = A + 2 – D - 3 + 3D – D:   DESP.   “A”          A = 2 – D-----6     ∴

                        A = 2 – D                B = 2 – D          C = 1 – D

1. SE SUSTITUYEN  LAS  ECUACIONES ANTERIORES:

Fd  = CD2-D  V2-D  𝜌1-D  µD

AGRUPANDO LAS VARIABLES:

                       Fd =  C (𝜌V² D²) [ 𝜌VD/µ) – D

DONDE  (𝜌 V D)/µ   ES EL NÚMERO DE REYNOLDS  (NR);  SI ADEMÁS, SE DEFINE AL COEFICIENTE DE ARRASTRE COMO:

                              CD = C (NR) – D

ENTONCES, FINALMENTE LA EXPRESIÓN QUEDA COMO:

                          Fd  = CD 𝜌 V² D²

LA CUAL ES UNA ECUACIÓN DERIVADA DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.

EL COEFICIENTE  CD   SE DETERMINA EN FORMA EXPERIMENTAL.

                 SIGNIFICACIÓN FÍSICA DE LOS GRUPOS ADIMENSIONALES

ES EL COCIENTE ENTRE DOS FUERZAS QUE ACTÚAN EN UN FLUIDO, INDICANDO LA IMPORTANCIA DE UNA FUERZA CON RESPECTO A LA OTRA. MEDIANTE ESTOS SE PUEDEN REDUCIR LAS VARIABLES QUE INTERVIENEN EN UN PROBLEMA.

                                                 NÚMERO DE REYNOLDS (NR)

ESTE PARÁMETRO ADIMENSIONAL AYUDA A DISTINGUIR ENTRE EL RÉGIMEN LAMINAR Y EL TURBULENTO EN UN FLUIDO EN PARTICULAR: CUANDO EL NÚMERO DE REYNOLDS ES MENOR QUE  2000   ES UN FLUJO LAMINAR; CUANDO EL NÚMERO DE REYNOLDS ES MAYOR QUE  4000 EL FLUJO ES TURBULENTO.  EL NR  RELACIONA LA FUERZA DE INERCIA CON LA FUERZA VISCOSA.

                                  NR = 𝜌VL/µ                NR =VL/[pic 1]

PARA UN TUBO DE SECCIÓN CIRCULAR COMPLETAMENTE LLENO DE FLUIDO LA  “L” SE SUSTITUYE POR EL DIÁMETRO  “D”.

                                           NÚMERO DE FROUDE

SE OBTIENE DEL COCIENTE ENTRE LA FUERZA DE INERCIA Y LA FUERZA DE GRAVEDAD, CON LA AYUDA DE ESTE PARÁMETRO SE PUEDE DETERMINAR, POR EJEM. LA RESISTENCIA DE UN BARCO DEBIDA A LA ACCIÓN DE LAS OLAS.

                                             NF = V²/gL        o        NF = V/ (gL)½

                                       NÚMERO DE WEBER

SE DEFINE COMO EL COCIENTE ENTRE LA FUERZA DE INERCIA Y LAS FUERZAS DE TENSIÓN SUPERFICIAL.  ESTE PARÁMETRO AYUDA EN EL COMPORTAMIENTO DE CHORROS PEQUEÑOS FORMADOS BAJO LA ACCIÓN DE CARGAS PEQUEÑAS, Y EN EL FLUJO DE UNA LÁMINA DELGADA DE LÍQUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE SÓLIDA.

                       NW = 𝜌V²L²/                    O                        NW =V/𝜌L)½[pic 2][pic 3]

                            NÚMERO DE MACH

ESTE PARÁMETRO SE RELACIONA POR EL COCIENTE DE LA FUERZA DE INERCIA Y LA FUERZA ELÁSTICA.

NM = V²/K𝜌        O        NM = V/(K𝜌)½        O  BIEN         NM = V/(KRT)½[pic 4][pic 5]

NM = 1  ES FLUJO SÓNICO;  NM < 1   ES FLUJO SUBSÓNICO;   NM > 1  ES FLUJO SUPERSÓNICO

                                        NÚMERO DE EULER

ESTE NÚMERO  RELACIONA LA FUERZA DE INERCIA CON LA FUERZA DE PRESIÓN.

           Ne =v²/gh    AL RECÍPROCO DE ESTE No. SE LE CONOCE COMO COEFIC. DE PRESIÓN

EXISTE OTRO PARÁMETRO LLAMADO NÚMERO DE CAUCHY, EL CUAL SE BASA EN LA MISMA RELACIÓN DE FUERZAS DE MACH Y SE EXPRESA COMO:

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