ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE MEDICIONES DEL DIÁMETRO DE UNA LENTEJA

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE MEDICIONES DEL DIÁMETRO DE UNA LENTEJA 

Bryan Daniel Gil Sotelo, Alvaro Andres Moreno Sandoval

Universidad Nacional De Colombia

Departamento de física

RESUMEN

En el laboratorio se tomó un grupo de sesenta lentejas, se tomó  la medida del diámetro con un calibrador de vernier para mejorar la precisión de sus medidas Se recogen los datos, y se procede al análisis estadístico de los mismos, donde se muestra  las tablas de frecuencia, representación en histogramas, gráficas de normalización de histogramas y curvas gaussianas, proporcionando una comparación entre los gráficos que se obtienen de la muestra y de la población, para los datos de esta última solo se contaba con la frecuencia y los intervalos de los grupos, así que para la obtención de medidas del diámetro se halló el punto medio de cada intervalo,  se opera con la frecuencia y obtener datos normalizados y representaciones de la población. Por otro lado, se halla una desviación estándar que representa la dispersión del conjunto de datos, se hace el test chi cuadrado, la prueba de hipótesis que compara la distribución observada de los datos con una distribución esperada de los datos

ABSTRACT

In the laboratory, a group of sixty lentils was taken, the diameter was measured with a vernier caliper to improve the accuracy of its measurements. The data are collected, and the statistical analysis of them is carried out, showing the tables of frequency, representation in histograms, normalization graphs of histograms and Gaussian curves, providing a comparison between the graphs obtained from the sample and the population, for the data of the latter only the frequency and intervals of the groups were counted , so to obtain measurements of the diameter, the midpoint of each interval was found, the frequency was operated and normalized data and representations of the population were obtained. On the other hand, there is a standard deviation that represents the dispersion of the data set, the chi-square test is performed, the hypothesis test that compares the observed distribution of the data with an expected distribution of the data

MARCO TEÓRICO

Se hace el análisis estadístico del grupo de estudio y se mide su diámetro

Se determina el promedio de éstos usando la siguiente ecuación:

[pic 1]

[pic 2]

Donde n es el número total de valores y es el valor de cada dato[pic 3]

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta, representada por , se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas[pic 4]

La mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

La  desviación estándar  es una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como:

[pic 5]

[pic 6]

Se hace la distribución t de Student para para poder rechazar datos que se encuentran fuera de un intervalo de confianza por medio de

[pic 7]

[pic 8]

Donde x es el el promedio de los datos, t es el valor de t para 60 datos con 75% de confianza, y  es el error estándar.[pic 9][pic 10]

Para convertir los histogramas normalizados en curvas continuas lisas, se sigue la regla de Simpson, para modificar la frecuencia Fk en el intervalo k por la frecuencia F´k

         [pic 11]

                                                                                                     [pic 12]

Se investigó si las curvas alisadas de los histogramas pueden ser reproducidas por una Distribución Gaussiana. Esta distribución se grafica utilizando la fórmula:

[pic 13]

[pic 14]

Donde , representa la desviación de cada uno de los valores experimentales del diámetro, , con respecto al valor medio,. Para cada uno de los intervalos, representa el valor medio de dicho intervalo. con los valores de y  se calcula la frecuencia teórica  para cada intervalo k .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

El test de “chi cuadrado” se hace para hallar el nivel de confianza P por el de la distribución gaussiana Se calcula [pic 22]

                [pic 23]

 [pic 24]

Para expresar el resultado del análisis estadístico con el correspondiente error, se la notación de la forma:

unidad[pic 25]

[pic 26]

MONTAJE EXPERIMENTAL

Calibrador de vernier: Es un instrumento de medición creado por Pierre Vernier, su función es determinar medidas lineales de objetos con gran precisión, la regla principal tiene una longitud de 15 -  20 cm, y un error de 土0.002 cm

[pic 27]

imagen 1. calibrador de vernier

Lentejas: este fue el objeto de estudio, a partir de las medidas de los diámetros de estas, se desarrolló todo el montaje experimental y se sacaron tanto las tablas de datos como las gráficas para su posterior análisis .

Se hace el análisis estadístico del grupo de lentejas con respecto a su diámetro

A partir del total de valores (60).se determina el promedio por medio de la ecuación 1.2

Y la distribución t de student para tener un mejor intervalo de confianza por medio de la ecuación 1.3

.

Se hizo un histograma, donde se agruparon en intervalos semiabiertos de 0.2 mm para que no se solapen los datos, luego se hizo otro histograma pero esta vez, agrupándolos en intervalos de 0.4 mm.

Se normalizo el histograma, para esto se debió determinar el área bajo el histograma multiplicando el ancho de cada uno de los intervalos por el número total de lentejas, se tomaron las frecuencias de cada uno de los intervalos y se dividió por el área total del histograma, con los nuevos valores obtenidos para cada intervalo, se graficó el intervalo normalizado de su muestra, donde el área total en ese caso tendrá que ser de 1.

Se solicitó las tablas de frecuencias( ya normalizadas) de las medidas tomadas por los demás grupos de la clase, para recopilar gran cantidad de datos que permitió mejorar los resultados del análisis estadístico, Se hizo un segundo histograma normalizado de la población total.

Se convierten los histogramas normalizados de la muestra y de la clase total en curvas continuas, lisas, siguiendo la regla de Simpson, modificando la frecuencia Fk obtenida en el intervalo k por la frecuencia F´k por medio de la ecuación 1.4

Se grafica la curva alisada sobre el histograma normalizado.

Se calcula el valor promedio de los datos  y de la población [pic 28][pic 29]

Se calcula la desviación estándar ,,tanto para la muestra , como para la población [pic 30][pic 31][pic 32]

La curva alisada del histograma puede ser reproducida por la distribución Gaussiana por medio de la ecuación 1.5

Se calcula la frecuencia teórica  para cada intervalo k[pic 33]

Se hace un gráfico de esta distribución teórica  sobre la misma gráfica  donde se encuentra representado el histograma alisado y se comparan los resultados obtenidos tanto teórica como experimentalmente.[pic 34]

Se hace una representación gráfica de todas las dependencias  en una sola gráfica.

A continuación se hace un gráfico en papel semilogarítmico de   contra . De acuerdo a la ecuación 1.5 se obtiene una recta, se determina su magnitud,[pic 35][pic 36]

Se hace el test de “chi cuadrado” , . Se calcula por medio de la ecuación 1.6[pic 37][pic 38]

Se expresa el resultado del análisis estadístico dando el valor obtenido del diámetro promedio de una lenteja junto con el correspondiente error, usando la ecuación 1.7

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Posteriormente a la recolección de datos del diámetro de las lentejas se procede a hacer el análisis estadístico. En primer lugar, se clasifica las medidas obtenidas en intervalos de 2 y 4 mm de diferencia, para ver el comportamiento de las gráficas según la frecuencia de los valores.

En la representación con histogramas de los datos con un rango de 4 mm, notamos que gran parte de las mediciones son suprimidas, Figura 1, lo cual no ocurre de notoriamente en la gráfica con los intervalos de 2mm, como se aprecia en la Figura 2.

...