ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO

ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO

Introducción

El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a2…. an 

Algunos ejemplos ilustran lo anterior:

1. Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20?
2. ¿De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 máquinas distintas?
3. ¿Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse?

Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación

Se estudiaran a continuación los siguientes ítems:

1. Principio de Adición
2. Principio de Multiplicación

1. PERMUTACIONES

1. Permutaciones sin repetición
2. Permutaciones con repetición
3. Permutaciones cuando n = r sin repetición
4. Permutaciones cuando n = r con repetición

1. COMBINACIONES

1. Combinaciones sin repetición
2. Combinaciones con repetición

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1. Principio de Adición

[pic 1]

• ¿De cuantas maneras se puede obtener un siete y un ocho al alanzar dos dados?

1. Principio de Multiplicación

De Bogotá a Medellín hay 5 vuelos y de Medellín a Barranquilla hay 4 vuelos.

De cuantas maneras diferentes, puedes viajar de Bogotá a Barranquilla, haciendo escala en Medellín.

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

1. FACTORIAL DE UN NUMERO

FACTORIAL DE UN NUMERO n

La expresión n! se le llama  n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir:

n! = n(n-1) (n-2)….. (1)

Ej:      5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4)

              =  5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880

Propiedades:     

          0! =1

          n! = n(n-1)!

         n! = n(n-1) (n-2)

1. Permutaciones:

Dado el conjunto de n elementos [pic 5]se llaman permutaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos permutaciones son diferentes cuando:

i) Tienen al  menos un elemento diferente entre ellas o

ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.

Por ejemplo un equipo de baloncesto formado por:

(Juan, Pedro, José, Joe y Erik) será diferente del equipo

(Pedro, Erik, Juan, José y Joe) ?

Un vehiculo de (19) millones es lo mismo que un vehiculo de (91) millones?

Ejemplo:

Sea el conjunto [pic 6], cuantas permutaciones de orden dos se pueden obtener?

Permutaciones de orden 2 (r = 2) = (a1a2), (a2a1), (a1a3), (a3a1), (a2a3), (a3a2) = 6

También pueden incorporarse (a1 a1), (a2, a2), (a3,a3)

1. CALCULO DE LAS PERMUTACIONES  SIN REPETICION:

Son aquellas en las que los elementos de cada una de ellas son diferentes.

[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12] P(n, r) = n! / (n-r)!                   r [pic 13] n

1. CALCULO DE LAS PERMUTACIONES  CON REPETICION:

P` (n, r) = nr

Ejemplos:

1. Cuantos números de 4 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?

Haciendo n = 9 y r= 4 se tiene que:

        P (9,4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5! = 3024 números

2. ¿Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con dígitos del 1 al 9, si los dígitos que forma cada número pueden repetirse?

n = 9; r = 4 [pic 14] P´ (9,4) = (9)4 = 6561 números

3. El transito departamental dispuso que las placas para los carros deben tener 3 dígitos y 3 letras

1. ¿Cuantas placas puede hacerse si los números y las letras pueden repetirse?

1. ¿Si los números pueden repetirse y las letras no?

1. Si los números no pueden repetirse y las letras si?

1. ¿Si los números y las letras no pueden repetirse?

1. Si la primera letra siempre es B y el segundo número siempre es el 7.

SOLUCION:

Asumiendo 27 letras de nuestro alfabeto se tiene:

1. Una placa puede ser [pic 15] O también [pic 16]

Así las letras se obtiene a través de permutaciones con repetición: P`(27,3) = 273 = 19683

De la misma forma para los números: P´ (10,3) = 103 = 1000 números

Aplicando el principio de multiplicación, puede obtenerse: 19683 x 1000 = 19.683.000

1. Para los números P´(10,3) = 10 3 = 1000

Como las letras NO pueden repetirse entonces es una variación sin repetición: P(27,3) = 27! / (27-3)! =

Por el principio de multiplicación: 1000*27! / (27-3)!

1. PERMUTACIONES SIN REPETICION CUANDO n = r  (Pn)

Cuando n=r, el interés se centra en ordenar los elementos de un conjunto dado.

Si todos los elementos del conjunto de tamaño n a1, a2……an son distintos, entonces el número de permutaciones (u ordenaciones) que se pueden hacer esta dado por:

P(n) = n! / (n-r)! = n! / (n-n)! = n! / 0! = n!

Luego

Pn = n!

Ejemplo de cuantas formas se pueden sentar 7 personas en 7 sillas

1. PERMUTACIONES CON REPETICION CUANDO n = r      ()[pic 17]

Cuando el conjunto de n elementos que está formado por X1 elementos iguales, X2 elementos iguales,…….…Xk elementos iguales, se dice que es una permutación con repetición con  n=r.

El número de permutaciones (u ordenaciones) que pueden hacerse esta dado por:

[pic 18]

Ejemplo: De cuantas maneras se puede ordenar las letras de la palabra ESTADISTICAS

Ejercicio: Se rifa un vehículo y usted elige el Nº 191929 cuantas personas posibles totales están compitiendo con el mismo número combinado.

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