“APROXIMACIONES CON RECTÁNGULOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS”

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PRÁCTICA No. 1

“APROXIMACIONES CON RECTÁNGULOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS”

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Conoce y aplica la forma de aproximar el área bajo una curva utilizando tanto rectángulos inscritos como rectángulos circunscritos, como una herramienta para encontrar la variación del área cuando el número de rectángulos se incrementa y crece hasta el infinito.

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Si intentamos definir el área de la región bajo la curva, tal como la que se representa en la figura de abajo, es necesario establecer las siguientes consideraciones de forma.

Observamos también que esta región contiene dentro de sí diferentes figuras geometrícas, las cuales surgen al fraccionar el área bajo la curva. Para obtener una aproximación del área podemos segmentarla de diversas formas. Sin embargo, por simplicidad dividiremos el intervalo [a, b] en algunos subintervalos a través de rectas. Por ejemplo, si dividimos    el    intervalo   en   cuatro        subintervalos, tendríamos que definirlos como sigue:[pic 6]

Si quisiéramos calcular las áreas de estos cuatro rectángulos formados al divirdir el intervalo [a,b], tendríamos necesariamente que observar que como la función es continua el teorema del valor extremo garantiza la existencia de un valor máximo M y un valor mínimo m en cadasubintervalo:

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Si m1 es el valor mínimo del primer subintervalo y M1 es el valor máximo del mismo subintervalo (en consecuencia, m2

será el valor mínimo del segundo subintervalo y M2 el valor máximo, etc.) y así sucesivamente. Si S1, S2, S3 y S4

representan las áreas de los cuatro subintervalos respectivamente, existirán dos maneras de calcular el área aproximada de R ( f ,a,b) mediante la fórmula de área ya conocida usando el valor mínimo m o el valor máximo M . Así,

Sm   = m1 (x1  − x0 )+ m2  (x2  − x1 )+ m3 (x3  − x2 )+ m4  (x4  − x3 )

representa el área de los rectángulos que están dentro de R ( f , a, b) , en tanto que :

SM   = M1 (x1  − x0 )+ M 2 (x2  − x1 )+ M 3 (x3  − x2 )+ M 4  (x4  − x3 )

representaeláreadelosrectángulos quequedanfuerade R(f ,a,b). Yobservemosque:

Sm  < R   y   R < SM[pic 8][pic 9]

⎛ Área  del rectángulo ⎞                        ⎛ Áreadelrectángulo ⎞ inscritos        ⎟        m        M        ⎜        circunscritos

⎝        ⎠        ⎝        ⎠[pic 10]

Como se puede observar en la figura de la parte de arriba, la gráfica de la izquierda representa el área de los 4 rectángulos inscritos y la figura de la derecha representa el área de los 4 rectángulos circunscritos por lo tanto podemos concluir que:

Sm  = 5.45 ≤ 6.31 = SM

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Esta conclusión se cumplirá independientemente del número de subintervalos que se hayan elegido. Además, si está definida en [a, b], es posible establecer lo siguiente:

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