Algebra Lineal
alekar7614 de Mayo de 2012
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL
SEMESTRE 2011-2
PROF. ING. ALICIA PINEDA RAMÍREZ
Apuntes de Álgebra Lineal
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ÁLGEBRA LÍNEAL
MÉTODO DE EVALUACIÓN
La exención se otorgará a los alumnos que acrediten el curso con calificación aprobatoria mínima de seis (6).
Para poder presentar los exámenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deberá entregar las series correspondientes a los capítulos que comprenda cada examen. Esta serie tiene un valor del 10% + la calificación del examen.
Se dejarán tareas por clase, su promedio tendrá un valor del 25%, NO SE ACEPTAN TAREAS ATRASADAS.
Lectura de dos libros en el semestre, para evaluarlos se necesita calificación APROBATORIA.
En caso de no quedar exentos se tendrá la posibilidad de presentar los dos exámenes finales, siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final será promediado con parciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso. Para este promedio se considerarán los siguientes porcentajes.
Examen final 50%
Exámenes parciales 40%
Tareas 10%
ESCALA DE CALIFICACIONES
0.0 – 5.9 --- 5
6.0 – 6.4 --- 6
6.5
6.6 – 7.4 --- 7
7.5
7.6 – 8.4 --- 8
8.5
8.6 – 9.4 --- 9
9.5
9.6 – 10 --- 10
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En caso de no aprobar el primer examen final, la calificación correspondiente será la obtenida en el segundo examen final.
Los oyentes serán evaluados con el segundo examen final colegiado.
FECHAS DE EXAMENES PARCIALES Y FINALES:
1er. Parcial: 8 al 12 de marzo
2do. Parcial: 9 al 15 de abril
3er. Parcial: 7 al 13 de mayo
4to. Parcial: 27 al 28 de mayo
FINALES
1er. Final: 3 Junio 10:00 hrs.
2do. Final: 10 Junio 10:00 hrs.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Lay, David C.
Álgebra Lineal y sus Aplicaciones, 2da. Edición, Prentice Hall, 2001
2. Nakos. George y Joyner, David
Álgebra Lineal con Aplicaciones, Thomson Editores, 1999
3. Solar G., Eduardo y Speziale, Leda
Apuntes de Álgebra Lineal, Editorial Limusa, 1996
4. Bell, E.T.
Historia de la Matemáticas, 2da. Edición, Fondo de Cultura Económica, 1995
5. Anton H.
Introducción al Álgebra Lineal, Edit. Limusa, 2003
6. Godínez C, Héctor y Herrera C., Abel
Álgebra Lineal, teoría y ejercicios, Facultad de Ingeniería 1987
CAPÍTULOS:
I. Introducción al álgebra lineal
II. Espacios Vectoriales
III. Transformaciones lineales
IV. Espacios con Producto Interno
V. Operadores lineales en espacios con producto interno
Álgebra Lineal: es la parte de la matemática que estudia los espacios vectoriales y los conceptos relacionados con ellos (matrices, espacios y formas algebraicas), así como las aplicaciones a la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y al comportamiento algebraico de las funciones.
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CAPITULO 2
“ESPACIOS VECTORIALES”
2.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales. Subespacios. Isomorfismos entre espacios vectoriales.
ESPACIO VECTORIAL.
En este capítulo se analizaran conjuntos en los cuales exista una relación entre sus elementos, de manera que se establezca el concepto de dependencia lineal.
En forma genérica, a los elementos de un espacio vectorial se les llama “vectores”, por lo que, en este contexto, la palabra vector adquiere un significado más amplio.
DEFINICIÓN
En primera instancia se definirá lo que es un espacio vectorial, para tal efecto se considerará un conjunto U y un campo K, cuyos elementos se conocen como vectores y escalares respectivamente.
Para poder llegar a definir la estructura de espacio vectorial se requiere, además de las siguientes operaciones:
1) Suma de vectores
2) Multiplicación de un vector por un escalar.
Regla de correspondencia (criterio)
(a, b) + (c, d) = (a+d, b+c)
(a, b) = (a,b)
Si estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades, entonces se tendrá un espacio vectorial.
I. La suma forma un grupo abeliano con el conjunto U
II. Se debe cumplir la cerradura de la multiplicación de un vector por un escalar.
III. Existe la distributividad tanto para la suma de vectores por un escalar, como para la suma de escalares por un vector.
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IV. Se cumple la homogeneidad para el producto de escalares por un vector.
V. Existe el escalar idéntico.
Analíticamente lo anterior queda representado de la siguiente manera.
I. (U, +) Grupo Abeliano
1) Cerradura: U
2) Conmutatividad.
3) Asociatividad:
)+
4) Elemento idéntico.
5) Elemento inverso.
El elemento inverso no es único.
II. Cerradura para la multiplicación por un escalar.
U
III. Distributividades.
IV. Homogeneidad.
K
9) (αβ)
a,b,c U
a U
e U e a a e a
a U
i U a i i a e
a b b a
a,b U y , K
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Si V es un espacio vectorial sobre K, entonces
El vector es único y es tal que:
El vector es único y es tal que:
La ecuación t iene solución única en V
i u v w V u v u w v w
ii e v v v V
iii i v i
iv u x v
v v V v v
vi u v V u v u v
) , , :
) ;
)
)
) : ( )
) , : ( ) ( )
0 0
0
V. Escalar idéntico.
EJEMPLO:
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Espacio Nulo:
Contiene al vector nulo, ejemplo en polinomios: P= (0x2+0x+0)=
EJEMPLO:
PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.
De los diez postulados que integran la definición de espacio vectorial, los primeros cinco se refiere
únicamente a la adición, y establecen que el sistema (V, +) es un grupo abeliano; por lo tanto, se
pueden enunciar las siguientes propiedades, las cuales son comunes a todos los espacios
vectoriales.
TEOREMA.
Continuando con los postulados de la multiplicación por un escalar se establecen otras
propiedades que, junto con las anteriores, rigen los procedimientos algebraicos en un espacio
vectorial.
a U K
a a
;
)
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0
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TEOREMA:
Sea V un espacio vectorial sobre K.
SUBESPACIO.
Es posible que un espacio vectorial tenga subconjuntos que sean, por sí mismos, espacios vectoriales.
Subespacio vectorial.
Dado un espacio vectorial A y un subconjunto B de A, si B es también un espacio vectorial respecto a las operaciones definidas en A, decimos entonces que B es un subespacio vectorial de A.
Todo espacio vectorial es subespacio del mismo.
Para facilitar la verificación de que un conjunto es subespacio vectorial o no, se dispone del siguiente teorema.
Teorema: Dado un subconjunto B de un espacio vectorial A, se tiene que si:
1) El conjunto B es cerrado para la suma de dos elementos cualesquiera del conjunto y
2) El conjunto B es cerrado para la multiplicación de uno de sus elementos por un escalar.
Entonces B es un subespacio vectorial de A.
Es decir que bastará con verificar la “cerradura” de B con respecto a la adición y a la multiplicación por un escalar definidas en A para concluir que B es subespacio de A.
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EJEMPLO:
NOTA: Condición necesaria que un conjunto contenga el vector cero para que sea subespacio, pero dicha condición no es suficiente.
EJEMPLOS:
ISORMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES.
El concepto de isomorfismo es de relevante importancia en las matemáticas, especialmente desde el punto de vista de sus aplicaciones. El término “isomorfo”, etimológicamente significa “de igual forma”, se emplea en el álgebra para denotar la idea de que dos sistemas son tan parecidos que pueden considerarse, en esencia, como el mismo.
EJEMPLO.
Los espacios vectoriales del tipo Rn tienen una gran aplicación en el estudio mismo de los espacios vectoriales. Es probablemente que la aplicación más útil resulte el teorema que estable que los espacios vectoriales de la misma dimensión, son isomorfos. Es decir, todos los espacios vectoriales de la misma dimensión son algebraicamente hablando, iguales. De esta manera al estudiar un espacio vectorial V, de dimensión n, emplearemos el isomorfismo para trabajar con vectores del espacio vectorial Rn y el resultado lo aplicaremos al espacio V.
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DEFINICIÓN.
Sean U y V dos espacios
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