Analogia Sistema Mecanico-Electrico

INDICE

1. Introducción

2. Objetivos

3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

3.1 SISTEMAS MECANICOS

3.2 CIRCUITOS ELECTRICOS

4. ANALOGIA ENTRE UN SISTEMA MECANICO Y UN CIRCUITO ELECTRICO

4.1ANALOGIA FUERZA-TENSION

4.2ANALOGIA FUERZA CORRIENTE

5. EJERCICIOS

6. CONCLUSIONES

7. RECOMENDACIONES

8. BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

En el presente trabajo estudiaremos una de las aplicaciones importantes de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes empleadas en ingeniería. Este tema va relacionado con modelos matemáticos de algunos procesos físicos, tales como sistemas de mecánicos y circuitos eléctricos.

El sistema mecánico que se tratara tiene un análogo exacto en los circuitos eléctricos, esta analogía se introducirá al final del trabajo al igual que la transformación de un sistema mecánico a un sistema eléctrico.

OBJETIVOS

Estudiar y tener un claro concepto de sistemas mecánicos y un circuito eléctrico.

Entender las analogías que existen entre un sistema mecánico y un circuito eléctrico.

Resolver cualquier tipo de problemas que estén relacionados con aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

Muchos problemas tantos físicos como eléctricos tienen la forma de la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes:

ay´´+by´+cy=g(t) Ecuacion (1)

Las cuales están descritas con un valor inicial de y(0)=y_0 y y´(0)=〖y´〗_0 .Esto establece una relación importante entre las matemáticas y la física, la mayoría de los problemas físicos, al ser planteados matemáticamente son iguales. Una vez que tengamos planteados los problemas de la forma (1) con sus respectivos valores iniciales, será necesario realizar las debidas interpretaciones de las constantes a,b y c, así como también de las funciones y,g y poder obtener soluciones de diferentes problemas físicos.

Una de las aplicaciones de la ecuación (1) es referente al tema de un sistema mecánico que se explica a continuación:

3.1 SISTEMA MECANICO

Un tema relacionado con las vibraciones mecánicas es el movimiento de una masa unida a un resorte, para estos muchos de estos sistemas el análisis de estas vibraciones son problemas en las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Para entender este sistema consideramos un cuerpo con masa m unido a uno de los extremos de un resorte que resiste la compresión y la tensión mientras que el otro extremo estará sujeto a una pared fija o a un cuerpo que no tenga un movimiento alguno, esto se muestra en la figura 1.

Figura 1.

Asumimos que el cuerpo permanece en reposo en un plano horizontal sin fricción, de esta forma el cuerpo solo podrá moverse hacia adelante y hacia atrás de acuerdo al resorte, es decir si este se comprime o se estira. Sea x la distancia del cuerpo desde su posición de equilibrio hasta la posición donde el resorte no está estirado. Hay que tener en cuenta que x>0 Cunado el resorte esta estirado, mientras que x<0 cuando el resorte esta comprimido.

El enunciado de la Ley de Hooke es el siguiente: “La fuerza restauradora Fs de un resorte es igual y opuesta a las fuerzas aplicadas al mismo y es proporcional a la extensión (contracción) x del resorte como resultado de la fuerza aplicada, es decir,:

Fs=-kx Ecuacion (2)

Donde k indica la constante de proporcionalidad, generalmente llamada constante del resorte”

De acuerdo con la Ley de Hooke podemos observar que Fs y x esto es: Fs>0 si x<0 y

Fs<0 si x>0.

En la figura 1 se puede observar que el sistema tiene a la masa unida a un amortiguador, este es un dispositivo utilizado para disminuir impactos el cual proporcionan una fuerza directamente opuesta al movimiento de la masa, es decir, la fuerza de amortiguamiento o de resistencia F_R siempre actúa en dirección opuesta al movimiento de la masa.

En todo sistema se supone que la fuerza de amortiguamiento es directamente a la velocidad v=dx⁄dt de la masa. Si dx⁄dt>0 entonces v es creciente, de modo que la masa se dirige hacia la derecha y la fuerza de amortiguamiento F_R se dirige hacia la izquierda y su fórmula es:

F_R=-cv=-c.(dx⁄dt)=-cx´ Ecuacion (3)

No importa el movimiento de la masa, la fuerza de amortiguamiento se expresa como la Ecuacion (3). Podemos observar que en (3) aparece una constante c la misma que es conocida como la constante de amortiguamiento y siempre será positiva. Cotidianamente la Ecuacion (3) es considerada como una fuerza friccional determinada en un sistema, incluyendo la resistencia del aire al movimiento de la masa m.

Ahora bien una vez entendido y planteadas las ecuaciones (2) y (3) se da el caso cuando en la masa actúa una fuerza externa, esta fuerza puede estar dirigida hacia la izquierda o derecha dependiendo si F(t) es positiva o negativa, entonces la fuerza total que actúa sobre la masa es:

F=F(t)+Fs+F_R Ecuacion (4)

De acuerdo con la primera Ley de Newton F=m.a=m.(d^2 x)⁄〖dt〗^2 =m.x´´, reemplazando en la Ecuacion (3)tenemos la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden:

ma=F(t)-kx-cv

F(t)=m (d^2 x)⁄〖dt〗^2 +kx+c dx⁄dt

F(t)=mx´´+cx´+kx Ecuacion (5)

Donde m,c y k son constantes positivas, la Ecuacion (5) será la encargada de

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