Sistemas Eléctrico y Mecánico. Descripción y Analogía.

TRABAJO TEORÍA DE CONTROL MODERNO

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Tema:                Sistemas Eléctrico y Mecánico. Descripción y Analogía.

1. INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se describirán modelos matemáticos, de sistemas eléctricos y mecánicos para lo cual se utilizará leyes de electrotecnia (Ohm, Kirchhoff) y de física (Newton). El modelo matemático equivale a una ecuación diferencial y lineal o un conjunto de ellas; mediante su solucion podemos conocer el comportamiento del sistema, que es lo que interesa conocer. Al final de este trabajo se presentan las analogías entre sistemas eléctricos y sistemas mecánicos.

2. DESARROLLO

2.1 SISTEMA ELÉCTRICO

Los circuitos eléctricos pueden estar formados por una amplia variedad de componentes complejos, los mismos que pueden ser configurados en serie o en paralelo, o incluso como una combinación de ambos. Para el presente trabajo se  considera los circuitos únicamente con resistencias, inductores y condensadores, con fuentes  de tensión o corriente de alimentación. Para su modelación es necesario conocer la Ley de Ohm, y las leyes de Kirchhoff tanto para corrientes como para voltajes.

RESISTOR:

Las resistencias son elementos que no almacenan energía eléctrica, sino que la disipan en forma de calor. Son tanto lineales como pasivos. La caída de tensión en una  resistencia viene dada por la ley de Ohm y es  [pic 1]

INDUCTOR:

Los inductores son elementos pasivos, lineales, que almacenan y liberan energía debido a campos magnéticos que se producen por corriente, conocido como auto-inducción. Físicamente está formado por espiras. Cuando existen variaciones de corriente su respuesta es mantener la condición anterior, es decir no ocurren cambios bruscos de corriente. La caída de tensión en el inductor es . [pic 2]

CONDENSADOR:

Un capacitor es un elemento pasivo y lineal que almacena energía debido a la presencia de campos eléctricos. Constructivamente tiene dos placas paralelas separadas por un medio dieléctrico.  La caída de tensión en un capacitor es  . [pic 3]

A continuación se modelará un circuito RLC serie con el objetivo de que en la sección 2.3 se establezcan  las analogías con un sistema mecánico de masa, resorte y amortiguador.

[pic 4]

Figura 1. Circuito RLC serie

Su modelo matemático es:

[pic 5]

En función de la carga se tiene:

[pic 6]

[pic 7]

2.2 SISTEMA MECÁNICO

Un sistema mecánico consta de elementos como son: masa, resorte y amortiguador; además en muchos casos existirá una fuerza externa. Que pueden estar distribuidos según su aplicación. Para su análisis es necesario realizar diagramas de cuerpo libre en cada masa o cuerpo, y conocer las leyes de Newton y Hooke.

MASA

La masa en un cuerpo es la que permite almacenar energía cinética en el movimiento de traslación.

RESORTE

Un resorte es elemento que almacena energía potencial cuando se lo expone a fuerza externa. La fuerza del resorte  es proporcional al desplazamiento de la masa x, desde su posición de equilibrio y actúa en dirección opuesta del desplazamiento. [pic 8]

[pic 9]

Donde  es la constante del resorte y siempre es mayor a cero. Tal que , si  (el resorte se extiende) mientras , si  (el resorte se comprime).[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

AMORTIGUADOR

Es un elemento que disipa la energía cinética en energía térmica. Se admite que la fuerza del amortiguador  es proporcional a la velocidad de la masa y actúa en dirección opuesta al movimiento. Entonces dicha fuerza  es proporcional a su . Además es lineal (rozamiento viscoso).[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

Donde B es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia de que la fuerza de amortiguamiento la cual actúa en dirección contraria al movimiento.

A continuación, con el objetivo de establecer analogías con el sistema eléctrico se describe al sistema mecánico como: una masa m unida tanto a un resorte que ejerce en ella una fuerza , un amortiguador, que ejerce una fuerza  sobre la masa, Además la masa está sujeta a una fuerza externa .  La fuerza total que actúa en la masa es:[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

Utilizando la segunda ley de Newton y  tenemos:

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Despejando  se obtiene:[pic 27]

[pic 28]

2.3 ANALOGÍAS ENTRE SISTEMAS MECÁNICOS Y ELÉCTRICOS

Los sistemas análogos son aquellos que pueden estar representados por un mismo modelo matemático, sin embargo físicamente son distintos. Se caracterizan por que se describen con las mismas ecuaciones diferenciales o integro-diferenciales. Se los utiliza en la práctica ya que puede ser más fácil de manejar experimentalmente un determinado sistema que otro, por ejemplo en lugar de construir y estudiar un sistema mecánico, se puede construir y estudiar su análogo eléctrico; que generalmente es más fácil experimentalmente, las escalas o dimensiones son más asequible, fiables y además resulta más económico montar un circuito eléctrico que un sistema mecánico.

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