Análisis De Factorización De Una Ecuación En Función De X

ANÁLISIS DE FACTORIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN EN FUNCIÓN DE X.

Vamos a entrar al tema de manera práctica e inductiva mediante un ejemplo, para dejar lo más claro posible el proceso a través de la experiencia.

El porqué de f(x)

Tenemos una ecuación

3x² - 14x + 5

La cual no está igualada a nada, pero sabemos que esta ecuación realmente quiere decir algo, y eso es:

y = 3x² - 14x + 5

Porque de hecho, en un plano coordenado tendremos una gráfica con valores en x y valores en y.

http://img580.imageshack.us/img580/5521/te10.jpg

Ilustración 1. Gráfica de y = 3x² - 14x + 5

Como podemos ver en la ilustración, cuando x toma valores, le asigna valores a y, es decir, que la grafica es una serie de puntos coordenados que satisfacen la ecuación.

A partir de aquí es que vamos cayendo en cierto razonamiento, que consiste en comprender que al despejar la y de la ecuación, y dejarla completamente sola, nos damos cuenta de que es la x quien trabaja, a quien se le hacen las operaciones necesarias, quien está funcionando en la ecuación para obtener valores para las coordenadas de la gráfica.

Podríamos decir entonces que x hace la función en la ecuación.

Así, en una expresión más cómoda, diríamos que “la ecuación y = 3x² - 14x + 5 está en función de x”.

En el lenguaje matemático, es algo difícil escribir una y otra vez “la ecuación y = 3x² - 14x + 5 está en función de x”, y además, cuando queremos sumarle o hacerle alguna operación, no es bueno que haya más letras de las necesarias.

Por tanto, la forma matemática de decir que una ecuación está en función de una variable es: f(x)

Cabe mencionar que cuando ya tenemos una f(x) y necesitamos utilizar otra ecuación, podemos hacer uso del abecedario a libertad, por lo que también podríamos escribir g(x), m(x), p(x), etcétera. Si se hace uso generalemente de las variables f y g es porque son las que evitan menos confuciones.

Volviendo al tema, la ecuación y = 3x² - 14x + 5 podría expresarse como

f(x) = y = 3x² - 14x + 5

Y también como

f(x) = 3x² - 14x + 5

Que expresa bastante bien la idea de que la ecuación está en función de x.

EL PORQUÉ DE IGUALAR A CERO UNA ECUACIÓN.

Muchas veces nos han pedido que igualemos a cero la ecuación, pero realmente desconocemos el porqué de esto, pues bien.

Si igualamos a cero la ecuación con la que hemos venido trabajando y = 3x² - 14x + 5 se veria así:

3x² - 14x + 5 – y = 0

Y es relamente lo mismo, pues la gráfica de esta ecuación es exáctamente la misma, pero aquí sucede algo más, porque también podemos iguala a cero la y, de tl suerte que:

y = 0

y = 3x² - 14x + 5

⇒ 0 = 3x² - 14x + 5

O lo que es lo mismo

3x² - 14x + 5 = 0

Pero aquí ¿qué es lo que realmente está sucediendo?

Gráficamente sucede esto:

http://img541.imageshack.us/img541/7615/87m0.jpg

Ilustración 2. Gárafica de 3x² - 14x + 5 = 0

Como podemos apreciar en la ilustración, se nota claramente que la gráfica de la ecuación ha cambiado, pues 3x² - 14x + 5 = y es una parábola abierta hacia arriba, mientras que 3x² - 14x + 5 = 0 son dos rectas verticales.

Un punto en el plano cartesiano o mejor dicho, una coordenada cartesiana se compone de dos elementos para su adecuada localización, que son los valores que tenga x y los valores que tenga y. De manera que podríamos expresarlo así P(x, y), es decir, un punto P con coordenadas (x, y), donde la x→ es la abscisa y y→ es la ordenada.

Con esto en mente, cuando tenemos 3x² - 14x + 5 = y, lo que realmente estamos haciendo es describir todos los puntos (x, y) de la siguiente forma:

P( x, y = 3x² - 14x + 5 )

Que quiere decir que buscamos los valores para x donde y=3x² - 14x + 5

Así, cuando hacemos y=0, lo que sucede es que describimos los puntos

P( x , 0 )

Que quiere decir que buscamos los valores para x donde y=0. Pero ¿dónde es que y=0 y x tiene valores para esa ecuación? Pues sobre el eje de las x. Pero como vemos en la gráfica, es en donde corta al eje de las x, porque es donde el punto es válido para la ecuación.

Análogamente, si hacemos x=0, en la función f(x) = 3x² - 14x + 5, será equivalente a escribir y = 3x² - 14x + 5. Lo que nos da como resultado:

Sí x = 0

y = 3x² - 14x + 5

y = 3(0)² - 14(0) + 5

y = 0 - 0 + 5

y = 5

La que podemos ver que es una asíntota horizontal que corta al eje Y justo en la intersección de la gráfica con el eje Y.

http://img22.imageshack.us/img22/4342/mupy.jpg

Ilustración 3. Asíntota y = 5

Con esto podemos inferir que cuando y=0, lo que buscamos son la o las asíntotas verticales donde la ecuación original corta al eje de las x’s; y cuando x=0, lo que buscamos es la o las asíntotas horizontales donde la ecuación original corta al eje de las y’s.

Así, a manera de conclusión, agrego que ya que la factorización consite en encontrar los valores donde se corta el eje X, o como generalmente se conoce, la factorización consiste en encontrar las raíces, y convenientemente, el hacer y=0, nos facilita

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