Análisis Ecuación Logística

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1]

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

NÚCLEO SUCRE

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Estudiante:

CHRISTIAN GUTIÉRREZ

C.I. 17.763.461

Carrera: Lic. Matemáticas

LAPSO 2014-I

CUMANA, JUNIO DE 2014

INTRODUCCIÓN

Desde la más remota antigüedad los pueblos o los estados han sentido necesidad de saber de cuántos súbditos disponían. En principio esta necesidad se centró en el número de hombres disponibles para la guerra, como es claro ejemplo el recuento de los varones mayores de veinte años de las tribus de Israel, recogido en el cuarto libro del Pentateuco, el Libro de los Números. Este censo es uno de los primeros de que se tiene Constancia.

Posteriormente, además de las necesidades bélicas, los recuentos de población tuvieron otra motivación, la recogida de impuestos o tributos. Otro aspecto fundamental relacionado con la población es el de su predicción cuantitativa para un futuro más o menos cercano. La necesidad de conseguir unos cálculos prospectivos, de la mayor fiabilidad posible, resulta obvia en determinados aspectos, que se presentan en la vida diaria: construcción de nuevas viviendas, adecuación del número de puestos escolares, en cada grado y en cada área geográfica; programación de la producción de alimentos, adelantándose a los crecimientos acaecidos, entre otras.

Para poder atender esta imperiosa necesidad de calcular las futuras poblaciones se hizo necesario el análisis estadístico de los conjuntos humanos en los cuales apareció la utilización de funciones exponenciales, las cuales se hacían inaplicables para cálculos a largo plazo; sin embargo, para breves intervalos de tiempo pueden proporcionar resultados francamente aceptables.

Pero, sin duda alguna, la función matemática para cálculos de poblaciones futuras que mayor interés ha despertado es la conocida con el nombre de logística. Esta ecuación resulta de gran utilidad hoy en día en infinidad de campos, como el de la economía, modelos de crecimiento, en la medicina, entre otros.

En este trabajo usaremos esta ecuación en un problema que afecta al Municipio Arismendi del Estado Sucre en materia a enfermedades que tienden a afectar a un gran número de habitantes y que representa una amenaza a la sociedad. La intención es conocer la evolución de dicha enfermedad en personas naturales para poder determinar una solución al problema.

LA ECUACIÓN DE VERHULST

Fue el matemático, estadístico y astrónomo belga Adolphe Quetelet quien en 1835 planteó la idea de que el crecimiento de la población se veía frenado por una resistencia proporcional al cuadrado de dicha población (hipótesis mecánica).

Pierre Françoise Verhulst, antiguo alumno de Quetelet y profesor de matemáticas de la Escuela Militar de Bruselas, combinando la hipótesis de crecimiento exponencial con la hipótesis mecánica, planteó en 1838 la ecuación diferencial:

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             (1)[pic 4]

El crecimiento logístico está relacionado con el crecimiento exponencial, de hecho para pequeños valores de la magnitud que presenta crecimiento logístico, el crecimiento logístico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a partir de un cierto punto el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda representar adecuadamente la propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al principio estas se propagan rápidamente, cada "infectado" o "afectado" por la innovación es susceptible de traspasar el "contagio" a otro individuo que tenga contacto con él, pero cuando el número de "infectados" crece es más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la enfermedad o innovación.

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

Sea [pic 5]

Sacando factor común en la ecuación (1) y despejando tenemos:[pic 6][pic 7]

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Para integrarla, descomponemos el primer miembro en factores simples:

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Para conocer A y B hacemos:

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Igualando coeficientes tenemos:

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De donde                             y          [pic 14][pic 15]

Por tanto:[pic 16][pic 17][pic 18]

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