Apuntes De Calculo Diferencia E Integral

APUNTES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

ESIME ZACANTENCO

Francisco Muñoz Apreza, Juan Alfaro Yllescas, Genoveva Barrera Godínez, Rosa María Estrella Montoya.

Índice general

1.- Bienvenida 3

2.- Introducción 4

3.- Objetivos 5

I.- Números reales 7

II.- Funciones reales de variable real 29

III.- Límites y continuidad 50

IV.- Derivadas 67

V.- Aplicación de la derivada 71

VI.- Integrales 93

VII.- Métodos de integración 100

VIII.- El área bajo la curva 118

Bibliografía 129

BIENVENIDA

El Sistema de Enseñanza Aprendizaje de Alto Rendimiento Académico SEAARA te da la bienvenida a una forma de aprender el lenguaje y los fundamentos de la ciencia matemática, en este caso del Cálculo Diferencial e Integral con la confianza de que en cada una de sus líneas podrás encontrar una forma comprensible de entender y asimilar los desarrollos lógicos – operativos que fundamentan sus postulados

Introducción

Toda la estructura matemática contiene en sí una lógica formal con una gran carga de interdependencia y una relación biunívoca entre la teoría y la praxis.

De esta forma la comprensión plena de la teoría de conjuntos posibilita entender desde una concepción conceptual el Campo de los Números Reales y los axiomas que lo fundamentan, La aplicación operativa de la aritmética como la aplicación de las operaciones que se producen en el campo de los números reales con un enfoque del comportamiento de las constantes que intervienen entre ellas te permitirá entender a plenitud como se comportan las propiedades reales desde una aplicación de sus variables, es decir el álgebra.

Las Geometría Euclidiana vista desde la perspectiva del plano cartesiano en el campo real facilita mucho su aprendizaje y entendimiento.

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Los logaritmos y la trigonometría tienen una relación directa con los postulados del campo de los números reales por eso es importante comprenderlos tanto teóricamente como en sus aplicaciones.

Caso particularmente importante dentro de las bases matemáticas elementales que requerimos para que el proceso aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral sea óptimo es el dominio de la Geometría Analítica.

Estamos conscientes que el problema medular de la enseñanza de las matemáticas en general son las bases elementales que el estudiante tiene por ello hemos diseñado un Curso de Actualización precisamente que remedie la ausencia parcial o total de esas bases el cual lo puedes cursar en la página www.depf.unam.mx/depfdu

Con este bagaje cognitivo –el alumno podrá comprender sin complicaciones mayores las unidades de aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral de una variable real que aquí trataremos.

Veamos la unidad I de aprendizaje contiene El campo de los números reales y las desigualdades de variables reales, para comprenderlos de una mejor manera es necesario tener los conocimientos básicos.

La experiencia en la enseñanza nos ha demostrado que una vez que el alumno domina el tema de desigualdades de variables reales, la unidad de aprendizaje II referente a funciones reales de variable real se comprende nítidamente ya que al calcular el intervalo del dominio de la función estamos calculando el conjunto solución sobre el eje de las x y al calcular el contra dominio estamos calculando el conjunto solución sobre el eje y.

La unidad III del límite de una función real de variable real va íntimamente relacionada con los fundamentos básicos de matemáticas antes señalados, en forma particular se requiere del dominio del álgebra, en forma similar podremos comprender la continuidad de una función real de variable real si nuestra formación de desigualdades está bien fundamentada.

Una vez que como estudiantes hemos corregido y fundamentado nuestra formación básica y asimilado los temas de desigualdades, funciones reales de variable real, límites y continuidad de variables reales de variable real, las unidades IV de la derivada y V de la integral se van a asimilar plenamente por el estudiante sin contratiempo.

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Objetivo general

El alumno utilizará los conceptos básicos del cálculo Diferencial e Integral de manera eficiente en la solución de problemas en distintos campos de la ingeniería.

Objetivos particulares

El alumno empleará las propiedades de los números reales en la solución de desigualdades y será capaz de expresar la solución de desigualdades en términos de intervalos.

El alumno manejará el concepto de función real de variable real y sus características principales.

El alumno calculará límites de funciones reales de variable real así como establecerá la continuidad de una función real de variable real en un punto o un intervalo.

El alumno calculará las derivadas de funciones reales de variable real y las aplicará en la solución de problemas de ingeniería.

El alumno reconocerá los conceptos y teoremas fundamentales de la integral definida e indefinida, manipulará las principales técnicas de integración en la solución de problemas de áreas, volúmenes, centros de masa y longitud de curva.

I.- Números reales

1.1.- El campo de los números reales 8

1.1.1.- Axioma de cerradura 8

1.1.2.- Axioma de asociatividad 8

1.1.3.- Axioma de conmutatividad 9

1.1.4.- Axioma del idéntico 9

1.1.5.- Axioma del inverso 10

1.1.6.- Axioma de distributividad 10

1.2 .- Axioma de orden 11

1.3.- Definición de número negativo 11

1.4.- Definición de “ menor qué” 11

1.5.- Desigualdades 12

1.5.1.- Un poco de historia 12

1.5.2.- La forma de representar una desigualdad 12

1.5.3.- Definición de “mayor qué” 13

1.5.4.- Propiedades de las desigualdades 13

1.5.5.- Definición de intervalo abierto 14

1.5.6.- Definición de intervalo cerrado 14

1.5.7.- Definición 14

1.5.8.- Ejemplos 14

1.5.9.- Definición de valor absoluto 19

1.5.9.1.- Teorema 19

1.5.9.2.- Ejemplo 20

1.5.9.3.- Teorema 23

1.5.9.4.- Desigualdades del plano 23

1.5.9.5.- Ejemplos 24

1.5.9.6.- Ejercicios propuestos 27

I : El Campo de los Números Reales

1.1 .- El campo de los números reales puede ser descrito por un conjunto de axiomas con los cuales podemos conocer sus propiedades y operaciones de suma y multiplicación.

P/q q≠0

La recta real la representamos por:

Propiedades de las operaciones suma (+ ) y multiplicación ( • )

Sean a y b dos números reales cualesquiera entonces, existe 1 y sólo 1 número real denotado a+b llamado suma y existe 1 y sólo 1 número real ab llamado producto.

1.1.1 .- Axioma de cerradura aditiva.

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces

a+b = c

Ejemplo

2+3 = 5

Axioma de la cerradura multiplicativa

Si a, b, c, d son números reales cualesquiera entonces

ab = d

Ejemplos

4(5) = 20

1.1.2.- Axioma de asociatividad aditiva

Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces:

a+(b+c) = (a+b)+c

Ejemplo

3+(4+5) = (3+4)+5

Axioma

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