Introducción Maple: Cálculo Diferencial Y Integral

Universidad Autónoma de Nayarit

Unidad Académica de Ciencias e Ingenierías

Introducción Maple: Cálculo Diferencial y Integral

• 0. Introducción

o 1. ¿Qué es el Maple?

o 2. Instrucciones y comandos básicos del Maple

• 1.Primera parte - Introducción con los principales comandos

o 1. Manipulando números

o 2. Solución de ecuaciones

o 3. Como usar el HELP

• 2. Segunda parte - Nociones de cálculo diferencial y integral

o 1. Calculando Límites

o 2. Calculando Algunas Derivadas

o 3. Un problema de Cálculo Interesante.

o 4. Series de Taylor

o 5. Calculando Integrales

o 6. Ecuaciones Diferenciales

• 3.Tercera parte - Graficando

0. Introducción

1. ¿Qué es el Maple?

Maple es un sistema de cálculo simbólico o algebraico. Ambas expresiones hacen referencia a la habilidad que posee Maple para trabajar con la información de la misma manera que lo haríamos nosotros cuando llevamos a cabo cálculos matemáticos analíticos. Mientras que los programas matemáticos tradicionales requieren valores numéricos para todas las variables, Maple mantiene y manipula los símbolos y las expresiones. Estas capacidades simbólicas permiten obtener soluciones analíticas exactas de los problemas matemáticos: por ejemplo se pueden calcular límites, derivadas e integrales de funciones, resolver sistemas de ecuaciones de forma exacta, encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales, etc. Como complemento a las operaciones simbólicas existe un amplio conjunto de rutinas gráficas que permiten visualizar información matemática compleja, algoritmos numéricos que dan soluciones en precisión arbitraria de problemas cuya solución exacta no es calculable y un lenguaje de programación completo y comprensible que permite al usuario crear sus propias funciones y aplicaciones.

Internamente Maple se estructura en tres partes. En primer lugar está el núcleo, formado por rutinas escritas y compiladas en lenguaje C, donde se realizan la mayor parte de los cálculos básicos hechos por el sistema. La segunda parte es un conjunto de librerías, donde se encuentra la mayoría de los comandos de Maple, y que están escritas en su propio lenguaje de programación (interpretado no compilado), lenguaje que permite al usuario crear sus propios comandos y añadirlos a la librería estándar (es por tanto un sistema extensible). Y finalmente la interfaz del programa a través de la cual es posible comunicarse con el sistema.

Esta interfaz de Maple tiene un aspecto muy similar a la de otros programas usados en sistemas operativos con entorno gráfico y permite el acceso a todas las M. en C. Héctor Martínez Rubin Celis 1 / 66

funciones y capacidades del manipulador. Básicamente lo que aparece al invocar el programa Maple (haciendo doble clic en su icono, por ejemplo) es una ventana más o menos convencional en la que se encuentra integrado lo que en inglés se denomina “worksheet” y que nosotros traduciremos como “hoja de trabajo”. La flexibilidad de la hoja de trabajo permite tanto la investigación en ideas matemáticas como la creación de artículos técnicos sofisticados. De esta manera Maple presenta grandes posibilidades de aplicación y uso tanto en la investigación como en el trabajo profesional y por supuesto en la enseñanza de las Matemáticas.

2. Instrucciones y comandos básicos del Maple

Instrucciones Básicas

1) Una vez ingresado a Maple se encontrará con una hoja de trabajo en blanco en la que aparecerá un puntero seguido de una barra vertical.

2) Cada vez que finalice una frase deberá escribir punto y coma (si desea que su resultado aparezca explícitamente) ó dos puntos (si desea que no aparezca el resultado).

3) Puede abandonar Maple por dos vías: eligiendo Exit del menú File o bien escribiendo el comando quit. Si usa Exit, Maple le preguntará si desea respaldar su trabajo (usted deberá decidir entre Si, No ó Cancelar). Si usa el comando quit, Maple no le hará consulta alguna. Después de haber ingresado dicho comando, simplemente deberá presionar la tecla enter. Con ésta acción usted abandona su hoja de trabajo y el programa Maple, perdiendo la información que tenía en la hoja de trabajo.

4) Maple le ofrece ayuda en línea mediante los comandos ?, ?? y ??? . El comando ? seguido de algún tópico, hará que Maple le dé una explicación detallada de ése tópico, de sus secuencias de llamada y de algunos ejemplos. Si usa ?? seguido de algún tópico, Maple sólo le indicará qué y cómo escribir adecuadamente el comando relacionado con el tópico en cuestión. Si usa ??? seguido de algún tópico, Maple le ofrecerá solamente ejemplos relacionados con el tópico consultado, omitiendo toda explicación. Para salir de cualquiera de éstas ayudas en línea oprima las teclas Alt y F4 simultáneamente.

5) Usted puede detener un cálculo que considere que es demasiado largo y demoroso para Maple. Para ello puede usar el icono Stop que aparece en el menú de Maple y que se enciende cada vez que Maple está procesando un cálculo. El proceso se detiene haciendo un click con el mouse sobre dicho icono.

6) Al ingresar comandos y frases en su hoja de trabajo tome en consideración que los errores más comunes son los siguientes:

(1) Olvidar al final de cada frase el punto y coma

(2) No escribir los paréntesis necesarios

(3) Escribir una coma para números decimales en lugar de un punto

(4) Olvidar de escribir el símbolo de multiplicación

(5) Dos operaciones en la misma fila no requieren paréntesis.

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7) Antes de intentar realizar las tareas, le sugerimos que desarrolle previamente todos los ejemplos que aparecen en los Laboratorios.

8) El comando restart, reinicia la página de trabajo, reinicia los valores de las variables asignadas, dejándolas libres.

COMANDOS DE MAPLE

COMANDOS BASICOS PARA ARITMETICA Y ALGEBRA

x + y ; suma x e y

x - y; resta x e y

x * y ; multiplica x e y

x / y ; divide x por y

x ^ y; eleva x a y

abs(x); valor absoluto de x

x :=2 ; asigna a x el valor 2

x = ‘x’; suprime un valor asignado a x, quedando x libre

subs(x=a, f); sustituye la variable x en f por a

evalf(expr); evalúa una expresión usando decimales

evalf(expr,n); evalúa hasta n dígitos

evalc(imagin, expr); evalúa números complejos

evalm(matr,expres); evalúa una expresión matricial

collect(expression,x); agrupa expresiones según la potencia de x

collect(f,[p,q]); en f, agrupa todos los términos con p, y todos

los términos con q

expand(expr); desarrolla una expresión algebraicamente

factor(expr); factoriza un polinomio

fsolve(f(x)=0, x); soluciona numéricamente la ecuación en x, f(x) =0

fsolve(f(x)=0, x, a..b) soluciona numéricamente en x, f(x)=0, entre a y b

fsolve(f(x)=0, x ,complex); halla numéricamente todas las raíces de una ecuación polinomial en x, f(x) = 0

Pi ; π (debe escribirse con mayúscula)

simplify(expresión); reduce expresiones , más o menos

solve(f(x)=0, x); resuelve simbólicamente la ecuación en x, f(x)=0

solve({f(x,y)=0, g(x,y)=0},{x,y}); resuelve simbólicamente sistemas de ecuaciones

sqrt(x); raíz cuadrada de x

I; número complejo i

(%); da el resultado obtenido en el paso anterior

coeff(expression,x,2); coeficiente de en la expresión 2x

with(student); carga la librería student

completesquare(expr,[x,y]); completa cuadrados de binomio en x e y en la expresión expr

completesquare(quad,[x,y,z]); completa cuadrados de binomio en x,y,z

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COMANDOS RELACIONADOS CON FUNCIONES Y GRAFICAS EN 2D

1) En Maple, al igual que en Matemáticas, existe una diferencia entre una expresión y una función. Una función toma argumentos y retorna valores. Una expresión es un objeto.

Una función es activa y una expresión es pasiva. La sintaxis básica para definir una función es:

nombre:= variable -> expresión

Para escribir la flecha con el teclado se usa primero la tecla - y después la tecla > sin dejar espacio entre ambas.

2) El comando para realizar gráficas es plot. Hay varios tipos de sintaxis para éste comando, dependiendo si se trata de funciones o expresiones:

(I) plot(f(x), x= a..b); sintaxis tanto para funciones como expresiones (II) plot(f, x=a..b); sintaxis sólo para expresiones

(III) plot(f, a..b); sintaxis sólo para funciones

3) Una vez que Maple está en la ventana de gráficas, el mouse maneja un cursor en forma de flecha que sirve para determinar las coordenadas de cualquier punto de la gráfica. Para ello se conduce la punta de la flecha hacia el punto cuyas coordenadas se desea determinar, se hace un click y aparecerá en la parte inferior de la ventana las coordenadas del punto que se está apuntando.

4) La sintaxis para graficar varios gráficos simultáneamente y controlar además la escala del eje vertical es:

(IV) plot({f(x), g(x)} , x = a..b, c..d); sintaxis para funciones y expresiones

(V) plot({ f, g }, x = a..b, c..d); sintaxis sólo para expresiones

(VI) plot({f , g}, a..b, c..d); sintaxis sólo para funciones

5) Para representar una función a trozos, o sea una función que presenta un dominio dividido en diferentes partes pudiendo ser diferente el proceso que se aplica en cada una

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