Cuaderno De Ejercicios De Calculo Diferencial E Integral

Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”

Academia de Matemáticas

Núcleo de formación: Matemáticas

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas

M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009

INDICE

Presentación………………………………………………………………………………………………4

Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6

Ejercicios……………………………………………………………………………… 7

Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8

Ejercicios…………………………………………………………………………………9

Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10

Ejercicios……………………………………………………………………………….11

Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12

Ejercicios………………………………………………………………………………..13

Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14

Ejercicios………………………………………………………………………………..14

Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15

Ejercicios………………………………………………………………………………..16

Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17

Ejercicios………………………………………………………………………………..18

Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20

Ejercicios…………………………………………………………………………………21

Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22

Ejercicios…………………………………………………………………………………23

Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas……………………………………..24

Ejercicios…………………………………………………………………………………25

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26

Ejercicios………………………………………………………………………………….27

Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28

Ejercicios………………………………………………………………………………...29

Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30

Ejercicios…………………………………………………………………………………31

Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32

Ejercicios…………………………………………………………………………………33

Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34

Ejercicios…………………………………………………………………………………35

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36

Ejercicios………………………………………………………………………………..38

Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos………………………..39

Ejercicios………………………………………………………………………………..40

GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45

PRESENTACION

El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas.

Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.

Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.

Tema No. 1. Límite de una función.

Definición de función: Decir que lim┬(x→0)⁡〖f(x)=L 〗 significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

Ejemplo: Encuentre el lim┬(x→3)⁡〖(x^2-x-6)/(x-3)〗

Solución. Note que (x^2-x-6)/(x-3) no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema.

lim┬(x→3)⁡〖(x^2-x-6)/(x-3)〗=lim┬(x→3)⁡〖((x-3)(x+2))/(x-3)〗=lim┬(x→3)⁡〖(x+2)=3+2=5〗

La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.

Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:

lim┬(x→3)⁡〖(2x-8)〗 Respuesta: -2

lim┬(x→3)⁡(2/x+1)

lim┬(x→-2)⁡(x^2-3x+1) Respuesta: 11

lim┬(x→4)⁡〖√(9+x^2 )/(x-3)〗

lim┬(x→1)⁡〖(x^2+3x-4)/(x-1)〗 Respuesta: 5

lim┬(x→4)⁡∛(5x+7)

lim┬(x→1)⁡〖(√5x-√5)/(1-x)〗

lim┬(x→2)⁡〖(3-√(4x+1))/(x^2-2x)〗 Respuesta: -1/3

Calcule el límite por la derecha de la siguiente función: f(x)=2x^2+3

Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:

lim┬(x→-4)⁡〖|x|/x〗 Respuesta: -1

Tema No. 2. Límites trigonométricos.

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)

Ejemplo: Hallar el valor del límite lim┬(x→2)⁡〖((3x-6) cos⁡〖(x-2)〗)/(x-2)〗

En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si x→2 entonces x-2→0, así que al aplicar el teorema del límite de un producto de dos funciones, se tiene:

lim┬(x→2)⁡〖((3x-6) cos⁡〖(x-2)〗)/(x-2)=lim┬(x→2)⁡〖(3x-6)/(x-2)〗 〗 . lim┬(x→2)⁡cos⁡〖(x-2)〗

En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de la forma lim┬(u→0)⁡cos⁡〖u=1,〗 donde u=x-2, entonces

= lim┬(x→2)⁡〖(3(x-2))/(x-2)〗 . lim┬(x-2→0)⁡cos⁡〖(x-2)〗

= lim┬(x→2)⁡〖3 lim┬(x-2→0)⁡〖cos⁡(x-2)〗 〗

= (3) (1)

= 3

Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.

lim┬(x→0)⁡〖sen 5x〗 Respuesta: 0

lim┬(x→1)⁡〖6 cos⁡〖(x-1)〗 〗

lim┬(x→0)⁡[(2x-1)/cos⁡x ] Respuesta: -1

lim┬(x→3)⁡[(3〖sen〗^2 (x-3))/(x^2-6x+9)]

...