Análisis de los axiomas de campo ordenado en espacios de subconjuntos

Analicemos cuáles de los axiomas de campo ordenado se cumplen y cuáles no.

**Suponiendo que X es el espacio**

S1) Si A y B son dos elementos del espacio, entonces A+B es elemento del espacio.

Si se cumple el axioma; en el espacio siempre vamos a poder encontrar la unión de ambos subconjuntos.

S2) Si A y B están en el espacio, entonces A+B = B+A

Si se cumple el axioma; la unión del subconjunto A con el subconjunto B resulta lo mismo que ver la unión del subconjunto B con el subconjunto A.

S3) Si A, B y C están en el espacio, entonces A + (B+C) = (A+B) + C

Si se cumple el axioma; la unión del subconjunto A con la unión de los subconjuntos (BUC) resulta lo mismo que ver la unión de los subconjuntos (AUB) unión C. Porque al final de cuentas es la unión de los 3 subconjuntos.

S4) Existe un único elemento O en El espacio tal que A+ O=A para todo A en el espacio.

Si se cumple el axioma; si contemplamos el conjunto de los reales y su subconjunto sea el de los enteros, en él está contenido el elemento 0 que cumple el axioma.  

S5) Para cada A en el espacio existe el elemento A tal que A+ A = O

Si se cumple el axioma; ya que todo elemento que tomemos del conjunto de los reales tiene un inverso aditivo.

M1) Si A y B son dos elementos del espacio, entonces AB es elemento del espacio.

Si se cumple el axioma; en el espacio siempre vamos a poder encontrar a la intersección de ambos subconjuntos porque siempre va a ser un elemento de ambos subconjuntos.

M2) Si A y B están en el espacio, entonces AB =BA

Si se cumple el axioma; la intersección del subconjunto A con el subconjunto B resulta lo mismo que ver la intersección del subconjunto B con el subconjunto A, ya que serían los mismos elementos.

M3) Si A, B y C están en el espacio, entonces A (BC)=(AB)C

Si se cumple el axioma; en algunos casos nos quedaría el ∅ de ambos porque en los subconjuntos no siempre podrá haber intersección; pero en otros casos si nos quedará el resultado igual en ambos lados.

M4) Existe un único elemento I en El espacio tal que AI=A para todo A en el espacio.

Si se cumple el axioma; si contemplamos el conjunto de los reales y su subconjunto sea el de los naturales, en él está contenido el elemento 1, tal que 1=I que cumple el axioma.  

M5) Para cada A en el espacio diferente del conjunto O, existe el elemento A tal que A A = I

Si se cumple el axioma; ya que todo elemento que tomemos del conjunto de los reales tiene un inverso multiplicativo. Y el conjunto de los racionales es un subconjunto de los reales, esto es importante porque sino no podríamos tener a (x^-1) que es como se representa el inverso multiplicativo.

D) Si A, B y C están en el espacio, entonces A(B+C) = AB+AC.

Si se cumple el axioma; porque la unión de los subconjuntos B y C con la intersección del subconjunto A es igual a ver ambas intersecciones unidas.

O1) Si A y B están en el espacio sucede una y solamente una de las siguientes tres cosas A<B    A=B    o    A>B

No se cumple el axioma; basta con dar un contraejemplo:

A = {2, 4, 7, 9}

B = {1, 2, 5, 6}

**A no contiene a B

**A es diferente de B

**B no contiene a A

• No se cumple para cualquier subconjunto de X

O2) Si A<B y B<C entonces A<C

Si se cumple el axioma; como todos los elementos del subconjunto A están contenidos en el subconjunto B y todos los elementos del subconjunto B están contenido en el subconjunto C, entonces todos los elementos del subconjunto A están en el subconjunto C.

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