CLASE #-1 VIRTUAL

CLASE #-1 VIRTUAL

Puntos Ordinarios y Singulares

Objetivo: Se analizaran las ecuaciones diferenciales homogéneas (E.D.H) de segundo orden lineales, dichas ideas pueden extenderse a otros órdenes.

Sea A(x)y’’+B(x)y’+C(x)y=0   no olvidar siempre dividir entra A(x) por lo que la ecuación quedara así:

y´´+y´+y = 0[pic 1][pic 2]

DEFINICION#1: x=a es un punto ordinario si  y  son funciones analíticas en x=a.[pic 3][pic 4]

Analíticas (significa que ambas funciones pueden expresarse como series de potencia de esta forma n(x-a)n), llamadas series de Taylor centradas en “a”.[pic 5]

DEFINICION#2: x=a  es un punto singular sino es un punto ordinario, i.e si alguna de las funciones ya mencionadas en la definición#1 no son analíticas.

Ahora bien si:  y  entonces x=a es un punto ordinario.[pic 6][pic 7]

Ahora bien si:  y  entonces x=a es un punto singular.[pic 8][pic 9]

EJEMPLO1: (x-1)y´´+2xy´-3x2y = 0 encontrar los puntos ordinarios y singulares.

SOLUCION: dividiendo entre (x-1):

y´´+y´- = 0  en que puntos el denominador es = 0? Pues allí tenemos el problema.[pic 10][pic 11]

Pues es evidente que en x=1, conste puede ser singular u ordinario.

Por lo tanto todos los puntos distintos de 1 son ORDINARIOS.

Conste no significa que 1 es singular NO puede ser ORDINARIO.

POR ESO: Analizaremos el limite o - esto según nos acerquemos por izquierda o por derecha.[pic 12][pic 13]

TOMEMOS nota: si nos quedara la forma  , podemos utilizar L’hopital o simplificamos la expresión racional.[pic 14]

POR LO TANTO x=1 es un punto singular.

EJEMPLO2: xy´´+(senx)y´+x2y = 0 encontrar los puntos ordinarios y singulares.

SOLUCION: dividiendo entre x tenemos: y´´+y´+ = 0  [pic 15][pic 16]

Puede notarce que el denominador se hace 0 en x=0

Por lo que TODOS los puntos DISTINTOS de 0 son ORDINARIOS.

Analicemos ahora el punto CERO puede ser SINGULAR U ORDINARIO:

    y  aplicando L’hopital tenemos que [pic 17][pic 18]

Pero aun no podemos decir si es punto singular u ordinario x= 0 pero nos dio 1 ósea el limite existe.

Miramos entonces el otro límite tome nota de esto:

Calculando , simplificando  el límite existe belleza.[pic 19][pic 20]

POR LO TANTO x= 0 es UN PUNTO ORDINARIO.

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