CONFERENCIA SUCESIONES11-1

FUNDACIÓN EDUCATIVA LICEO VERSALLES

AREA DE MATEMÁTICA.

TEMA: SUCESIONES – SERIES Y LIMITES DE SUCESIONES 11-1. 11-2. 11-3. 11-4.

NOMBRE: CURSO: FECHA:

I. SUCESIONES.

Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N y el codominio son los números Reales R.

Se tiene la sucesión an definida de N hacia R

: N R . Se puede escribir también { }

El grafico No 1 nos da la representación general de una sucesión.

1 *

2 *

3 *

4 *

5 *

6 *

.

an

N R

Grafica No 1. Sucesión { }

EJEMPLO No 1. Sea la sucesión { } = , en donde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ………….. Evaluemos algunos números en la expresión.

Si n = 1

Si n =2 =0.5

Si n = 3 =0.33

Si n = 4 =0.25

Si n = 5 =0.2

Si n = 6 =0.16

Si n = 7 =0.14

Si n = 8 =0.12

Los 8 primeros términos de la sucesión dada son:

= y es el termino n-ésimo. Si graficamos la expresión tenemos:

1

0.9

0.7

0.5

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 N

Grafica No 2. Representación de la sucesión { }

1

1 2 3 4 5 6

Grafica No 3. Representación de la función { }

De las dos graficas observamos que:

1. La grafica No 2 son puntos solamente

2. La grafica No 3 es una grafica continua.

3. La grafica No 3 da dos graficas simétricas.

EJEMPLO No 1. Escriba los 10 primeros términos de la sucesión y grafíquela.

= =

n = 1 = (1)2 = 1 n = 2 = (2)2 = 4

n = 3 = (3)2 = 9 n = 4 = (4)2 = 16

n = 5 = (5)2 = 25 n = 6 = (6)2 = 36

n = 7 = (7)2 = 49 n = 8 = (8)2 = 64

50

30

10

1 3 5 7

Grafica No 3. Sucesión {an}

El la sucesión {an} = se cumple que el termino a1 a2 porque 1 4. La sucesión es CRECIENTE.

EJEMPLO No 2. Graficar y escribir los 10 primeros términos de la sucesión dada, que son según resultados: =

n = 1 b1 = = 2 n = 2 b2 = = 1

n = 3 b3 = = 0.66 n = 4 b4 = = 0.5

n = 5 b5 = = 0.4 n = 6 b6 = = 0.33

n = 7 b7 = = 0.28 n = 8 b8 = = 0.25

n = 9 b9 = = 0.22 n = 10 b10 = = 0.20

R

2

1

2 4 6 8 10 N

Grafica No 5. Sucesión:

Observamos que el la sucesión los términos consecutivos 2 1 b1 b2. Por lo tanto la sucesión es una sucesión DECRECIENTE y converge al numero CERO.

EJEMPLO No 3. Sea la sucesión = . Hallar varios de sus términos en orden y graficarlos. Comparar dos términos consecutivos de la sucesión.

n = 1 C1 =

n = 2 C2 = ------- = ------- =

n = 3 C3 = ------- = ------- =

n = 4 C2 = ------- = ------- =

n = 5 C2 = ------- = ------- =

n = 6 C2 = ------- = ------- =

n = 7 C2 = ------- = ------- =

n = 8 C2 = ------- = ------- =

n = 9 C2 = ------- = ------- =

n = 10 C2 = ------- = ------- =

Comparemos dos términos de la sucesión:

C2 y C3 Los términos de la sucesión son:

= { }

Grafica No 6. Sucesión

Por la comparación de los términos de a sucesión o por la gráfica decimos que la sucesión es ____________________

Según hacia donde tiende la grafica decimos que: _______________________________

EJEMPLO No 4. Dada la sucesión = . Hallar los 10 primeros términos, graficar y analizarla, comparando términos y observando la grafica.

n = 1 D1 = = 1.33

n = 2 D2 = = 2

n = 3 D3 = = 2.4

n = 4 D4 = = 2.66

n = 5 D5 = = 2.85

n = 6 D6 = = 3

n = 7 D7 = = 3.11

n = 8 D8 = = 3.2

n = 9 D9 = = 3.27

n = 10 D10 = = 3..33

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Grafica de la sucesión {dn}

d1 = 1.33 y d2 = 2 son términos consecutivos de la sucesión y si los comparamos vemos que d1 d2, porque observamos que 1.33 2. Por esta razón la sucesión es CRECIENTE. Y observando la grafica vemos que tiende al número 4, ósea que converge a ese numero. Por esta razón la sucesión {dn} es CONVERGENTE.

CONCLUSION:

Una sucesión puede ser monótona si es:

1. CRECIENTE: Si se cumple que > .

2. DECRECIENTE: Si se cumple que <

EJERCICIOS: Dados los términos de las siguientes sucesiones, debe nombrarla y hallar el termino n-ésimo.

Construir una grafica y hacer un análisis de dicha sucesión.

1. { } = { }

2. { } = { }

3. { } = { }

4. { } = { }

5. { } = { }

6. { } = { }

7. { } = { }

8. { } = { }

9. { } = { }

10. { } = { }

SUCESIONES ACOTADAS.

Una sucesión se dice que es acotada si tiene cota inferior y cota superior.

1. Un numero C es una cota inferior de una sucesión { } si se cumple que, el valor C es menor que cualquier termino de la sucesión. C , para todo n N.

2. Un numero C es una cota superior de una sucesión { } si se cumple que, el valor C es mayor que cualquier termino de la sucesión. C , para todo n N.

EJEMPLO No 1. Dada la sucesión { bn } = = { ,……….}

=

Son todos cotas inferiores La sucesión tiende hacia este número

0 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

Grafica No 8. Gráfica unidimensional de la sucesión de { bn }

1. Cualquier valor que sea inferior a , seria Cota inferior de la sucesión, porque cumple la condición de ser menor que cualquier termino de la sucesión.

2. Estos valores serian cotas inferiores: ………. Y Es la máxima cota inferior.

3. Además observamos que los términos de la sucesión tienden a , por lo tanto la sucesión converge a .

EJEMPLO No 2. Dada la sucesión { bn } = = { ,……….}

=

Son todos cotas inferiores La sucesión tiende hacia este número

0 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Grafica No 9. Gráfica unidimensional de la sucesión de { bn }

1. Cualquier valor que sea inferior a , seria Cota inferior de la sucesión, porque cumple la condición de ser menor que cualquier termino de la sucesión.

2. Estos valores serian cotas inferiores: ………. Y Es la máxima cota inferior.

3. Además observamos que los términos de la sucesión tienden a 1, por lo tanto

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