Cambio de variables.

CAMBIO DE VARIABLE

El cambio de variable es uno de los métodos de integración más poderosos en el cálculo de las integrales simples (cuando la función a integrar depende de una sola variable), este método nos permite evaluar integrales tales como

[pic 1]

usando la sustitución o cambio de variable [pic 2]la reduce el problema a integrar la función [pic 3] con respecto a u. En esta parte del trabajo desarrollaremos la formula de cambio de variables multidimensional la cual es especialmente importante para evaluar integrales múltiples en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

A continuación presentamos un resultado muy importante que establece como debe hacerse el cambio de variable para el caso de la integrales dobles.

Teorema.-Sea [pic 4] una transformación tal que [pic 5] de clase [pic 6] sobre un conjunto abierto [pic 7]  del plano[pic 8] y que excepto posiblemente para un conjunto de área cero  es inyectiva  con jacobiano  no nulo  [pic 9] , el cual se escribe como:

[pic 10]

Sea [pic 11](en el plano UV) un conjunto cerrado y acotado que tiene área  y sea [pic 12](en el plano XY), la imagen del conjunto D  por la transformación T.

[pic 13]              [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Entonces, si [pic 25] es integrable sobre E la función [pic 26] es integrable sobre D y

[pic 27]

Ejemplos de Transformaciones

Ejemplo 1.- Sea [pic 28]el rectángulo [pic 29]. Entonces todos los puntos en [pic 30]son de la forma [pic 31] donde [pic 32]. Sea T la transformación coordenada polar ‘‘cambio de variables’’ definido por [pic 33]. Encontrar la imagen.

Solución

Sea [pic 34]. Debido a la identidad [pic 35], vemos que el conjunto de puntos [pic 36] tal que [pic 37]tiene la propiedad que [pic 38], con lo cual se deduce que [pic 39] está contenida en un disco unitario. Además, cualquier punto [pic 40]en el disco unitario puede ser escrito como [pic 41] para algún [pic 42]. Así, D es el disco unitario

[pic 43]

Ejemplo 2.- Sea T definido por [pic 44] y sea [pic 45]un cuadrado con lado de longitud 2 centrado en el origen. Determine la imagen [pic 46]obtenida aplicando T a [pic 47]

Solución

Determinemos el efecto de T sobre el segmento de recta [pic 48], donde [pic 49]. Entonces, tenemos [pic 50]. La aplicación [pic 51]es una parametrización de la línea [pic 52] . Así, este segmento de línea recta une los [pic 53]. De la misma manera para las curvas definidas de la siguiente forma:

[pic 54]

Utilizando los mismos argumentos como antes, vemos que [pic 55] es una parametrización de la línea [pic 56]; [pic 57] es la línea  [pic 58]uniendo los puntos [pic 59]. Al mismo tiempo es razonable creer que T da vuelta al cuadrado [pic 60]sobre este mismo obteniéndose un nuevo cuadrado [pic 61]cuyos vértices son [pic 62]. A continuación se presenta una figura que representa este proceso. Se puede probar que cada punto que está en el cuadrado [pic 63]queda por medio de T en el nuevo cuadrado D.

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