Integración por Cambio de Variable y por Partes

I.U.P.S.M. – Matemática II.

Guía de Estudio. Integración.

Integración por Sustitución.

        El método de Integración por Sustitución o Cambio de Variable se basa en la derivada de la función compuesta. A continuación, se presenta la forma general de una integral que puede ser resuelta utilizando este método:

[pic 1]

Figura 1. Forma general de una integral cuyo método de resolución es la integración por sustitución.

        En palabras simples, son integrales en las que un término de la integral resulta ser la derivada de otro. En la Figura 1 se puede notar como la integral se compone de dos términos, estos son  y . Con base en los conceptos de derivación, se sabe que  es la derivada de , lo que deja en evidencia los conceptos anteriores.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Cambiando variables.

        El nombre Integración por Sustitución o Cambio de Variable no es una mera formalidad. Para aplicar este método es necesario cambiar la variable de integración, aquella que viene dada por el diferencial, haciendo uso de las nociones previas sobre derivación. Nótese que el cambio de variable se realiza para obtener una integral más simple que la original, por lo que, si nuestro resultado es más complejo, puede que no estemos haciendo las cosas correctamente. A continuación, se presenta un ejemplo:

[pic 6]

        Lo primero que se observa en esta integral es definitivamente el término . No es un término al que pueda aplicársele algún artificio simple; tampoco se puede trabajar con la variable  tal y como está.[pic 7][pic 8]

        Sin embargo, el que no se pueda trabajar con las cosas como están no quiere decir que la respuesta es “no se puede”. Haciendo uso de alguna antigua tabla de derivadas usada en Matemática I, se puede encontrar la siguiente fórmula de derivación:

[pic 9]

Nota: En integración, siempre que se resuelva una derivada, el resultado debe estar acompañado por su respectivo diferencial; , en la mayoría de los casos.[pic 10]

        Es aquí cuando comienzas los embrollos. Se hará uso de la derivada anterior para resolver este ejercicio en particular. También, es necesario definir una variable de repuesto. Se usará la letra  para denotar a dicha variable. (Ahora eso de Cambio de Variable comienza a tener forma, ¿eh?).[pic 11]

        Antes que nada, se reescribirá la integral para facilitar la comprensión de lo que viene a continuación:

[pic 12]

        Y ahora, aplicamos el cambio de variable.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23][pic 24]

        La variable de repuesto  corresponde con la primitiva original de la función, mientras que  es la derivada de . Resulta útil recordar que el término  siempre debe contener al diferencial de la integral.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

ATENCIÓN. DÍ NO AL POLLICIDIO.[pic 29]

EL TÉRMINO  ES SIEMPRE LA DERIVADA DE . CADA VEZ QUE ALGUIEN ELIGE AMBOS TÉRMINOS POR MERO AZAR EN LUGAR DE DERIVAR  PARA OBTENER , MUERE UN POLLITO.[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

TÚ PUEDES CONTRIBUIR A DETENER ESTOS INFAMES SUCESOS.

POR UN MUNDO SIN POLLITOS MUERTOS.

        Al sustituir estas nuevas variables en la integral original, quedará lo siguiente:

[pic 34]

        El resultado es una integral inmediata que puede ser resuelta fácilmente utilizando la tabla de integrales.

[pic 35]

        Una vez se ha integrado la función, es necesario revertir el cambio de variable realizado, por lo que:

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Ejercicio completo resuelto.

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Ejercicios resueltos.

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¿Sabías que...? Tanto  como  son igualdades, lo que significa que se pueden realizar cualquiera de las operaciones de despejes si es necesario.[pic 40][pic 41]

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Integración por Partes.

        Este método es quizá el método de integración más sencillo de aplicar. Se usa en integrales compuestas de dos términos claramente diferenciables uno del otro; estos términos son siempre funciones.

        Su aplicación depende de la fórmula:

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        Esta fórmula es muy importante de recordar tal y como se presenta. Las maravillosas mentes del mundo han ideado el siguiente poema para facilitar su memorización:[pic 46][pic 47]

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Nota: Se recomienda recitar el poema en voz alta observando la fórmula para entender la magia.

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