Solución de E.D.Os de Segundo Orden mediante Método de Cambio de Variable y Diferencias Finitas

Solución  de E.D.Os de Segundo Órden
mediante Método de Cambio de Variable
y Diferencias Finitas

Sea la ecuación diferencial:

y´´ – yy´ + 3y2 = 2k – 1

Con las condiciones iniciales:  

y(0)= 1

y´(0)= 0

Resolver la ecuación para el punto y(1) en intervalos Δk = 0.5 .

Solución.

Antes que otra cosa, entenderemos cuál es la variable y cuál es la función.

Dado que la variable es k, entonces la función es y, es decir: y(k). De forma que si apareciese otra “letra”, se entenderá que también es una función de la variable k.

Ahora, comprendemos por definición que al tener únicamente esas dos condiciones iniciales (y, y´) resulta imposible aplicar el método de diferencias finitas directamente, puesto que al aparecer la segunda derivada, obtenemos un momento yi-1 que desconocemos.

Por lo tanto, procedemos a realizar un cambio de variable.

Así,

u = y´(k) = y´    por tanto:  u = y´  → u´ = y´´

Ahora las condiciones iniciales serán:

y= 1

u= 0

Ahora sustituimos las nuevas variables en la ecuación original:

u´ – yu + 3y2 = 2k – 1

De esa forma obtenemos esa expresión que involucra únicamente una primera derivada (E.D.O de Primer Órden), la cual es directamente soluble por el Método de Diferencias Finitas.

Por tanto, hemos formado un sistema de ecuaciones 2x2:

y´ = u  

u´ = 2k – 1 – 3y2  + yu

Resolviendo simultáneamente por diferencias finitas:

[pic 1]                                                                                               [pic 2]

.

Entonces:

[pic 3][pic 4]

[pic 5][pic 6]

Despejando:

yi+1 = yi + ui Δk

ui+1 = ui + Δk(2k – 1 – 3yi2  + yiui)

Así, obtenemos dichas expresiones que buscamos para cada instante.

Por lo tanto, comenzaremos las iteraciones con incrementos
kn+1= kn + Δk.

Entenderemos que las condiciones iniciales son en el instante k0= 0,     i= 0, es decir:

...