Campos Y Anillos
Enviado por alenno • 11 de Junio de 2013 • 3.659 Palabras (15 Páginas) • 677 Visitas
Campos
1.1. Definición y Propiedades Elementales
La idea intuitiva de un campo es la de un conjunto en donde existen dos operaciones que se comportan como la adición y multiplicación de números reales. Sabemos que la suma y multiplicación de números reales es un número real y que, además, dichas operaciones son conmutativas y asociativas. Con
respecto a la suma, un elemento distinguido de R es el número 0. Para la
multiplicación es el número 1. Dichos elementos nos permiten hablar de los
inversos aditivos y multiplicativos de reales. El numero -3; por ejemplo, es
el único número real que sumado a 3 da 0; mientras que ½ es el único real
que multiplicado con 2 da 1. Las propiedades anteriores son la base de la
definición formal de un campo.
Definición 1.1. Un campo consiste de un conjunto F en el que están
definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, con las siguientes
propiedades:
1) La adición es cerrada, es decir, a + b es un único elemento de F, para
cada a,b ∈ F.
2) La adición es conmutativa, es decir, a + b = b + a, para cada a,b ∈ F.
3) La adición es asociativa, es decir, a + (b + c) = (a + b) + c, para cada
a,b,c ϵ F.
4) Existe un neutro aditivo en F, es decir, un elemento 0F ϵ F tal que
a + 0F = a; para todo a ϵ F.
5) Existe el inverso aditivo de cada elemento de F, es decir, para cada
a ϵ F existe un elemento b ϵ F tal que a + b = 0F.
6) La multiplicación es cerrada, es decir x ¢ y es un único elemento de F,
para cada a; b ϵ F.
7) La multiplicación es conmutativa, es decir a * b = b * a, para cada
a,b ϵ F.
8) La multiplicación es asociativa, es decir, a * (b * c) = (a * b) * c, para
cada a,b,c ϵ F.
9) Existe un neutro multiplicativo en F y es diferente al neutro aditivo
de F, es decir, existe un elemento 1F ϵ F tal que 1F ≠ 0F b a * 1F = x,
para cada a ϵ F.
10) Existe el inverso multiplicativo de cada elemento no nulo de F, es decir,
para cada a ϵ F con x ≠ 0F ; existe un elemento b ϵ F tal que a * b = 1F .
11) La multiplicación es distributiva con respecto a la adición, es decir,
a * (b + c) = a * b + a * c, para cada a,b,c ϵ F.
Algunos autores utilizan la palabra cuerpo para referirse a lo que hemos
definido como un campo. Los elementos neutros 0F y 1F bien pueden denotarse
por 0 y 1, entendiendo que no debe de haber confusión con los números
reales cero y uno. Sin embargo, durante los primeros capítulos utilizaremos
la notación con subíndices y, más adelante, cuando hayamos adquirido mas
confianza con su trato, prescindiremos de ellos. Si F es un campo y a,b ϵ F,
a los elementos únicos a + b y a * b de F les llamaremos la suma y el producto
de a y b, respectivamente. Cuando estemos considerando en F una única
multiplicación y no haya lugar a confusión, es usual escribir ab en lugar de
a * b y para denotar al producto de a y b.
Los elementos diferentes de 0, 1 y -1 no poseen neutro multiplicativo.
El conjunto N de los números naturales no es un campo, pues no hay un
neutro aditivo. Consideremos ahora el conjunto F = {a + b√2 : a, b ϵ Q}.
Es claro que si a1 + b1 √2 y a2 + b2 √2 son elementos de F, entonces:
(a1 + b1√2) + (a2 + b2√2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) √2
es un elemento de F. Además
(a1 + b1√2)(a2 + b2√2) = a1a2 + a1b2√2 + b1a2√2 + b1b2√2 √2
= (a1a2 + 2b1b2) + (a1b2 + b1a2) √2
también es un elemento de F: Esto muestra que tanto la adición como la
multiplicación que definimos son cerradas. Naturalmente, dichas operaciones
son asociativas y conmutativas. También es fácil ver que la multiplicación
es distributiva con respecto a la adición. Ahora bien, el elemento neutro en
F es el número cero. Notemos que 0 ∈ F pues 0 = 0 + 0√2. El inverso
aditivo de a + b√2 es -a - b√2. El neutro multiplicativo es 1, el cual es un
elemento de F, pues 1 = 1+0√2. Falta mostrar que los elementos diferentes
de cero admiten un inverso multiplicativo. Tomemos entonces un elemento
a + b√2 de F diferente de cero. Si b = 0, entonces a ≠ 0; por lo que a^(-1) es
un inverso multiplicativo de a + b(-b)/(a^2-〖2b〗^2 ). Naturalmente a^(-1) se encuentra en F,
pues a^(-1) = a^(-1) + 0√2. Supongamos entonces que b ≠ 0.Debemos encontrar
dos números reales x y y de modo que
(a + b√2)(x + y√2) = 1
La ecuación anterior equivale a escribir
(ax + 2by) + (ay + bx) √2 = 1
...