Campos Y Anillos

Campos

1.1. Definición y Propiedades Elementales

La idea intuitiva de un campo es la de un conjunto en donde existen dos operaciones que se comportan como la adición y multiplicación de números reales. Sabemos que la suma y multiplicación de números reales es un número real y que, además, dichas operaciones son conmutativas y asociativas. Con

respecto a la suma, un elemento distinguido de R es el número 0. Para la

multiplicación es el número 1. Dichos elementos nos permiten hablar de los

inversos aditivos y multiplicativos de reales. El numero -3; por ejemplo, es

el único número real que sumado a 3 da 0; mientras que ½ es el único real

que multiplicado con 2 da 1. Las propiedades anteriores son la base de la

definición formal de un campo.

Definición 1.1. Un campo consiste de un conjunto F en el que están

definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, con las siguientes

propiedades:

1) La adición es cerrada, es decir, a + b es un único elemento de F, para

cada a,b ∈ F.

2) La adición es conmutativa, es decir, a + b = b + a, para cada a,b ∈ F.

3) La adición es asociativa, es decir, a + (b + c) = (a + b) + c, para cada

a,b,c ϵ F.

4) Existe un neutro aditivo en F, es decir, un elemento 0F ϵ F tal que

a + 0F = a; para todo a ϵ F.

5) Existe el inverso aditivo de cada elemento de F, es decir, para cada

a ϵ F existe un elemento b ϵ F tal que a + b = 0F.

6) La multiplicación es cerrada, es decir x ¢ y es un único elemento de F,

para cada a; b ϵ F.

7) La multiplicación es conmutativa, es decir a * b = b * a, para cada

a,b ϵ F.

8) La multiplicación es asociativa, es decir, a * (b * c) = (a * b) * c, para

cada a,b,c ϵ F.

9) Existe un neutro multiplicativo en F y es diferente al neutro aditivo

de F, es decir, existe un elemento 1F ϵ F tal que 1F ≠ 0F b a * 1F = x,

para cada a ϵ F.

10) Existe el inverso multiplicativo de cada elemento no nulo de F, es decir,

para cada a ϵ F con x ≠ 0F ; existe un elemento b ϵ F tal que a * b = 1F .

11) La multiplicación es distributiva con respecto a la adición, es decir,

a * (b + c) = a * b + a * c, para cada a,b,c ϵ F.

Algunos autores utilizan la palabra cuerpo para referirse a lo que hemos

definido como un campo. Los elementos neutros 0F y 1F bien pueden denotarse

por 0 y 1, entendiendo que no debe de haber confusión con los números

reales cero y uno. Sin embargo, durante los primeros capítulos utilizaremos

la notación con subíndices y, más adelante, cuando hayamos adquirido mas

confianza con su trato, prescindiremos de ellos. Si F es un campo y a,b ϵ F,

a los elementos únicos a + b y a * b de F les llamaremos la suma y el producto

de a y b, respectivamente. Cuando estemos considerando en F una única

multiplicación y no haya lugar a confusión, es usual escribir ab en lugar de

a * b y para denotar al producto de a y b.

Los elementos diferentes de 0, 1 y -1 no poseen neutro multiplicativo.

El conjunto N de los números naturales no es un campo, pues no hay un

neutro aditivo. Consideremos ahora el conjunto F = {a + b√2 : a, b ϵ Q}.

Es claro que si a1 + b1 √2 y a2 + b2 √2 son elementos de F, entonces:

(a1 + b1√2) + (a2 + b2√2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) √2

es un elemento de F. Además

(a1 + b1√2)(a2 + b2√2) = a1a2 + a1b2√2 + b1a2√2 + b1b2√2 √2

= (a1a2 + 2b1b2) + (a1b2 + b1a2) √2

también es un elemento de F: Esto muestra que tanto la adición como la

multiplicación que definimos son cerradas. Naturalmente, dichas operaciones

son asociativas y conmutativas. También es fácil ver que la multiplicación

es distributiva con respecto a la adición. Ahora bien, el elemento neutro en

F es el número cero. Notemos que 0 ∈ F pues 0 = 0 + 0√2. El inverso

aditivo de a + b√2 es -a - b√2. El neutro multiplicativo es 1, el cual es un

elemento de F, pues 1 = 1+0√2. Falta mostrar que los elementos diferentes

de cero admiten un inverso multiplicativo. Tomemos entonces un elemento

a + b√2 de F diferente de cero. Si b = 0, entonces a ≠ 0; por lo que a^(-1) es

un inverso multiplicativo de a + b(-b)/(a^2-〖2b〗^2 ). Naturalmente a^(-1) se encuentra en F,

pues a^(-1) = a^(-1) + 0√2. Supongamos entonces que b ≠ 0.Debemos encontrar

dos números reales x y y de modo que

(a + b√2)(x + y√2) = 1

La ecuación anterior equivale a escribir

(ax + 2by) + (ay + bx) √2 = 1

Tenemos entonces que resolver el sistema de ecuaciones

ax + 2by = 1

bx + ay = 0

Multiplicando la primera ecuación por ¡b y la segunda por a obtenemos el

sistema de ecuaciones

-abx - 2b^2y = -b

abx + a^2y = 0

Sumando ambas ecuaciones obtenemos que (a^2-2b^2)y = -b. Notemos ahora

Que a^2-2b^2 = 0 si y sólo si a^2=2b^2. Como b es diferente de cero, la igualdad

anterior equivale a escribir (〖a/b)〗^2= 2. En vista de que a y b son racionales,

el cociente a/b también es irracional. Como no existe un número racional cuyo

cuadrado sea igual a dos, deducimos que a^2-2b^2 ≠ 0. Entonces podemos

dividir la ecuación (a^2-2b^2)y = -b entre (a^2-2b^2)y para obtener

y = (-b)/(a^2-〖2b〗^2 )

Sustituyendo dicho valor en la ecuación bx + ay = 0, sucede que

bx = -ay = ((-a)(-b))/(a^2-〖2b〗^2 ) = ab/(a^2-〖2b〗^2 )

Ahora bien, como b ≠ 0; podemos dividir la ecuación de arriba entre b para

obtener que

x = a/(a^2-〖2b〗^2 )

Notemos ahora los números

x = a/(a^2-〖2b〗^2 ) y y = (-b)/(a^2-〖2b〗^2 )

son racionales pues, en vista de que a y b son racionales, el denominador

común de x y y; que es〖 a〗^2-2b^2, es un número racional. Además el inverso

aditivo de un racional es un racional y la división de racionales nos da un

racional. De esta manera, el elemento de F

a/(a^2-〖2b〗^2 ) + (-b)/(a^2-〖2b〗^2 ) √2

es un inverso multiplicativo de a + b √2. Esto muestra que F es un campo.

El ejemplo anterior nos indica cómo construir una infinidad de campos, todos ellos contenidos propiamente en R; pues podemos sustituir en la definición de F el irracional √2 por cualquier irracional de la forma √p , en donde p es un número primo.

Si F y L son campos bajo las mismas operaciones de adición y multiplicación y L ∁ F; entonces decimos que L es un subcampo de F. En particular, diremos que Q es un subcampo de R y que R es un subcampo de Q. Notemos que todos los subcampos de C que hemos dado, contienen a los números racionales. Esto es un hecho general.

Teorema 1.2. Todo subcampo de C contiene a Q.

Demostración. Sean F un subcampo de C y x ∈ Q: Entonces x = m/n = m*1/n, donde m,n ∈ Z y n ≠ 0. Como F es un campo resulta que 1 ∈ F: Luego 2 = 1 + 1 ∈ F y, por tanto, 3 = 2 + 1 ∈ F: Continuando este procedimiento, probamos que |m|,|n| ∈ F; en donde |m| y |n| denotan los valores absolutos de m y n, respectivamente. En vista de que los inversos aditivos de elementos que están en F son a su vez elementos de F, tenemos que m, n ∈ F. Ahora bien, como n ≠ 0 y F es un campo, el inverso multiplicativo de n es un elemento de F; esto es, 1/n ∈ F: Tenemos entonces que m y 1/n son elementos de F. Luego su producto tambien es un elemento de F. Entonces x ∈ F. Esto muestra que Q ∈ F.

Consideremos ahora el conjunto Z2 = {0, 1} con las operaciones de adición y multiplicación módulo dos: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 1 * 0 = 0 y 1 * 1 = 1. Entonces Z2 es un campo. De manera similar podemos construir los campos Z3; Z4; etc. Las operaciones de adición y multiplicación en Zn = {0, 1, 2,…, n – 1} se consideran modulo n. Dados x,y ∈ Zn para determinar la suma x + y realizamos lo siguiente: primero sumamos x y y de manera usual y después dividimos el resultado entre n. El residuo obtenido será x + y. De manera similar obtenemos el producto de x y y. Por ejemplo, si n = 5; entonces Z5 es el conjunto cuyos elementos son 0, 1, 2 ,3 y 4. Para determinar 3 + 4; sumamos primero dichos números en forma usual, obteniendo como resultado el número 7. Luego debemos dividir 7 entre 5. El cociente que se obtiene es 1 y el residuo es 2. Dicho residuo es la suma buscada. De esta manera, en Z5; sucede que 3 + 4 = 2. El producto usual de 3 y 4 es 12. La división de 12 entre 5 da como cociente 2 y como residuo 2: El residuo obtenido es el producto de 3 y 4 en Z5: Así pues 3 * 4 = 2.

Teorema 1.3. Si a, b, c ∈ F; entonces

(a) de a + b = c + b se sigue que a = c;

(b) si ab = cb y b ≠ 0F, entonces a = c.

Ejemplo. Supongamos que a + b = c + b. Sea d un inverso aditivo de b. Entonces (a+b)+ d = a +(b+d) = a + 0F = a y (c+b)+d = c +(b+d) = c + 0F = c. Ahora bien, como a+b = c+b; sucede que (a+b)+d = (c+b)+d, de donde a = c. Esto prueba (a). La demostración de

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