Centro De Gravedad De Un Cuerpo Bidimensional ó Tridimensional

Centro De Gravedad De Un Cuerpo Bidimensional ó Tridimensional:

La fuerza atracción de la tierra o fuerza de gravedad está aplicada sobre cada una delas partículas que constituyen los sólidos situados en su superficie o cerca de ella, esta fuerza está dirigida hacia el centro de la tierra. La atracción de la tierra sobre un sólido rígido debe representarse, por tanto, mediante un gran número de fuerzas pequeñas distribuidas sobre el sólido rígido entero.

La mayoría de las dimensiones de los cuerpos que se usan en la ingeniería son pequeñas, cuando se comparan con el radio de la tierra, se puede admitir, entonces, que las fuerzas de gravedad de las partículas del cuerpo son paralelas entre sí y conservan su magnitud constante, a pesar de las rotaciones cualesquiera efectuadas por el cuerpo.

Donde:

W: es el peso del cuerpo; fuerza con el cuerpo en reposo que se encuentra en el campo gravitatorio actúa sobre el apoyo que le impide caer verticalmente.

Cualquiera que sea la rotación efectuada por el cuerpo, las fuerzas de gravedad se mantienen paralelas entre sí y están aplicadas a las mismas partículas del cuerpo, varía solo su dirección respecto al cuerpo. Por consiguiente, la resultante W de las fuerzas de gravedad DW, en cualquier posición del cuerpo, pasará por un mismo punto G, que el centro de gravedad del cuerpo.

“Por tanto el centro de gravedad de un sólido es el punto ligado invariablemente a él, por el cual pasa la acción de la resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas del sólido dado, cualquiera que sea la posición del cuerpo en el espacio”.

Para obtener las coordenadas del c. de g. se debe aplicar momento de las fuerzas respecto a los ejes X e Y:

Donde:

xn y yn: son las coordenadas de los puntos de aplicación de las fuerzas de gravedad ΔWn de las partículas del sólido.

Debemos destacar que el centro de gravedad puede encontrarse fuera de los límites del sólido dado.

En el caso de un sólido tridimensional las coordenadas del c. de g. del mismo se determinan por:

Centroide:

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente

Se consideran tres casos específicos:

Centroide De Un Volumen:

Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = “x dv Y = “y dv Z = “z dv

“dv “dv “dv

En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masa

Centroide De Un Área:

De manera semejante, el centroide para el área superficial de un boleto, como una placa o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de área en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = “x dA Y = “y dA Z = “z dA

“dvA “dA “dA

En x = (Distancia del eje X x (derivada del área))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada del área))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada del área))/masa

Centroide De Una Línea:

Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente:

X = “x dL Y = “y dL Z = “z dL

“dL “dL “dL

En x = (Distancia del eje X x (derivada de la línea))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada de la línea))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada de la línea))/masa

Placas y Alambres Compuestos:

En muchos casos se puede dividir una placa en rectángulos, triángulos, semicírculos, cuartos de círculos u otras formas corrientes. Para determinar el centro de gravedad de placas compuestas se emplean las expresiones.

Donde:

Xi e yi: son las coordenadas del centro de gravedad de cada una de las áreas componentes.

Ai: es el área de cada figura componente.

A: es el área total.

Hay que tener en cuenta de anotar con el signo apropiado el momento de cada área.

Así mismo el área de un agujero debe anotarse siempre con signo negativo.

En el caso de alambres compuestos se tienen las siguientes expresiones:

Donde:

Xi e yi: son las coordenadas del c. de g. de cada una de las partes componentes.

Li: es la longitud de cada parte del alambre.

L: es la longitud de todo el alambre.

Si el eje Y es eje de simetría la coordenada X del centro de gravedad es cero y viceversa.

Ejemplo:

Se divide el área en cuatro figuras geométricas conocidas.

Luego se confecciona la siguiente tabla:

Por tanto el centro de gravedad está situado en: G (1.3; 4.35).

Determinación De Centroides Por Integración:

Para calcular el centroide de una figura empleando la técnica de integración, es necesaria que la forma de la misma pueda ser representada mediante una función matemática. Es precisamente la mayor desventaja de esta técnica, debido a que no siempre es posible determinar una función para definir la forma de una figura de un cuerpo real. Matemáticamente, las funciones son arreglos de coordenadas que están relacionadas mediante una expresión, la cual es denominada función matemática. Para la mayoría de las figuras estas funciones son polinomios. Aun cuando, pueden definirse otro tipo de funciones tales como las trigonométricas, sin embargo, estas son muy escasas encontrarlas en cuerpos naturales.

Las funciones mas empleadas son aquellas que definen líneas rectas de pendiente cero, pendiente positiva, pendiente negativa, parábolas cuadráticas, cúbicas, etc. Generalmente, estas funciones son de tipo geométricas, esto facilita los cálculos, debido a que las integrales que resultan de su análisis son integrales sencillas y directas. Ahora bien, recordando los conocimientos relativos a las funciones matemáticas y la técnica empleada para obtener la integral de la misma, tenemos que a toda función es posible definirle un diferencial, que este caso será un diferencial de área.

En esta figura, se representa una función matemática cualquiera con una relación de dependencia hacia la variable x, el área bajo la curva, delimitada por la función f(x) y las líneas verticales Aa y Bb definen la integral de la función. En este caso, se ha seleccionado un diferencial de área dA = ydx.

Los límites de la integral quedan definidos por el diferencial, así como el éste es dx los límites de la integral son también en x. Por lo tanto, el límite inferior es "a" y el superior "b". Como el diferencial es un rectángulo, el centro geométrico estará en la mitad de la base y en la mitad de la altura.

Las coordenadas del centro geométrico se denominan Xe y Ye. Dado que el diferencial dx es un valor que tiende a cero, la mitad de él es un número bien pequeño que podemos considerar sea el mismo valor dx. Así las ecuaciones que definen al centro geométrico del diferencial de área son:

Xe = x

Ye = y/2

Las ecuaciones que permiten calcular el centroide de la figura representada por f(x) son:

Primera Integral:

Segunda Integral:

Tercera Integral:

Los límites de todas las integrales son a y b. Los valores Xc y Yc son las coordenadas x,y del punto que denominamos centroide de la figura. Por lo tanto, el centroide queda expresado de la siguiente manera:

C (Xc,Yc) unidades.

Teorema De Pappus-Guldin:

Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides.

Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.

- Primer teorema:

El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a C sobre el mismo plano, es igual a la longitud de C, s, multiplicada por la distancia, d, recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje.

Por ejemplo, el área de la superficie de un toro de radio menor y radio mayor es

Entiéndase como radio menor al radio de la superficie circular transversal. El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.

- Segundo teorema:

El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide

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