Circunferencia

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:

Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

El centro y el radio.

El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

El centro es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r, la ecuación ordinaria es

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Esto significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano cartesiano y con radio conocido la podemos ver como gráfico y también la podemos transformar o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos Así podemos expresarla

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ,cuyo primer miembro está formado por la suma de dos cuadrados de binomio, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería

x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = D,

─ 2b = E,

a2 + b2 ─ r2 = F

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.

Si D = ─ 2a entonces

Si E = ─ 2b entonces

Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0─ 2a = A,

─ 2b = B,

a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 =

...