Circunferencia

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene una o varias funciones trigonométricas de la variable trigonométrica del arco x. Despejar “x” significa encontrar los valores de los arcos trigonométricos, cuyas funciones trigonométricas hacen que la ecuación trigonométrica sea correcta.

Las respuestas, o valores de los arcos de solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos:

x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45⁰; x = 37,12⁰; x = 178,37⁰

Nota: en la circunferencia trigonométrica o circunferencia unitaria, las funciones trigonométricas de cualquier arco son las mismas funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. La circunferencia unitaria define todas las funciones trigonométricas del arco variable x. También, se usa como demostración en la resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

sen x + sen 2x = 1/2; tg x + cotg x = 1,732;

cos 3x + sen 2x = cos x; 2sen 2x + cos x = 1 .

La circunferencia unitaria.

Es una circunferencia con radio = 1 unidad y O como origen. La circunferencia unitaria define 4 funciones trigonométricas principales del arco variable x que rota en sentido antihorario en él.

Cuando el arco con valor x varía en la circunferencia unitaria:

El eje horizontal OAx define la función trigonométrica f(x) = cos x.

El eje vertical OBy define la función trigonométrica f(x) = sen x.

El eje vertical AT define la función trigonométrica f(x) = tg x.

El eje horizontal BU define la función trigonométrica f(x) = cotg x.

La circunferencia unitaria también se usa para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas teniendo en cuenta las distintas posiciones del arco x en esta circunferencia.

Pasos

Solve Trigonometric Equations Step 1.jpg

1Conoce el concepto de resolución.

Para resolver una ecuación trigonométrica, transfórmala en una o en varias ecuaciones trigonométricas básicas. Finalmente, la resolución de ecuaciones trigonométricas da como resultado la resolución de 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas.

Anuncio

Solve Trigonometric Equations Step 2.jpg

2Conoce cómo resolver ecuaciones trigonométricas básicas.

Existen 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:

sen x = a ; cos x = a

tg x = a ; cotg x = a

Resolución de los procedimientos de las ecuaciones trigonométricas básicas mediante el estudio de distintas posiciones del arco x en la circunferencia unitaria y mediante el uso de la tabla de conversión trigonométrica o calculadora. Para saber completamente cómo resolver estas ecuaciones trigonométricas básicas y similares, lee el libro titulado: "Trigonometry: Solving trig equations and inequalities" ("Trigonometría: Resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas") (Amazon E-book 2010).

Ejemplo 1: resuelve sen x = 0,866. La tabla de conversión o calculadora te da x = Pi/3 como respuesta. La circunferencia unitaria da otro arco (2Pi/3) que tiene el mismo valor del seno (0,866). Además, la circunferencia unitaria da una infinidad de respuestas que se denominan soluciones extendidas.

x1 = Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi))

x1 = Pi/3 + 2k Pi, y x2 = 2Pi/3 + 2k Pi (soluciones extendidas)

Ejemplo 2: resuelve: cos x = -1/2. La calculadora da x = 2 Pi/3 como resultado. La circunferencia unitaria da otro resultado x = -2Pi/3.

x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = - 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi))

x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, y x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi (soluciones extendidas)

Ejemplo 3: resuelve: tg (x - Pi/4) = 0.

x = Pi/4; (solución)

x = Pi/4 + k Pi; (soluciones extendidas)

Ejemplo 4: resuelve cotg 2x = 1,732. La calculadora y la circunferencia unitaria dará como resultado cotg 2x = 1,732.

x = Pi/12; (solución)

x = Pi/12 + k Pi; (soluciones extendidas)

Solve Trigonometric Equations Step 3.jpg

3Aprende las transformaciones que se usan para resolver ecuaciones trigonométricas.

Para transformar una ecuación trigonométrica dada en una trigonométrica básica, usa transformaciones algebraicas comunes (factorización, factor común, identidades polinómicas...), definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. Existen aproximadamente 31, de las cuales las últimas 14 identidades trigonométricas, de la 19 a la 31, se denominan identidades de transformación, ya que se usan en la transformación de ecuaciones trigonométricas. Lee el libro mencionado anteriormente.

Ejemplo 5: la ecuación trigonométrica: sen x + sen 2x + sen 3x = 0 se puede transformar en un producto de ecuaciones trigonométricas básicas con el uso de identidades trigonométricas: 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. Las ecuaciones trigonométricas básicas que hay resolver son: cos x = 0 ; sen (3x/2) = 0 ; y cos (x/2) = 0.

4Halla los arcos cuyas funciones trigonométricas se conocen.

Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debes saber cómo hallar rápidamente los arcos cuyas funciones trigonométricas se conocen. Las tablas trigonométricas y las calculadoras dan los valores de conversión de los arcos, o ángulos.

Ejemplo: después de resolver, tendrás cos x = 0,732. Las calculadoras dan el arco de solución x = 42,95⁰. La circunferencia unitaria dará otros arcos de solución con el mismo valor del coseno.

5Grafica los arcos de solución en la circunferencia unitaria.

Puedes graficar o ilustrar los arcos de solución en la circunferencia unitaria. Los puntos extremos de estos arcos de solución constituyen polígonos regulares en la circunferencia unitaria. Ejemplos:

Los puntos extremos de los arcos de solución x = Pi/3 + k.Pi/2 constituyen un cuadrado en la circunferencia unitaria.

Los arcos de solución x = Pi/4 + k.Pi/3 se representan mediante los vértices de un hexágono regular en la circunferencia unitaria.

6Aprende los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.

Si la ecuación trigonométrica dada contiene una sola función trigonométrica, resuélvela como una ecuación trigonométrica básica. Si la ecuación trigonométrica dada contiene dos o más funciones trigonométricas, existen 2 métodos para la resolución, según la posibilidad de transformación.

A. Método 1

Transforma la ecuación trigonométrica dada en un producto en la forma: f(x).g(x) = 0 o f(x).g(x).h(x) = 0, en la cual f(x), g(x) y h(x) son ecuaciones trigonométricas básicas.

Ejemplo 6: resuelve: 2cos x + sen 2x = 0. (0 < x < 2Pi).

Solución: en la ecuación, reemplaza sen 2x por el uso de la identidad: sen 2x = 2*sen x*cos x.

cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*( sen x + 1) = 0. Luego, resuelve las 2 funciones trigonométricas básicas: cos x = 0, y (sen x + 1) = 0.

Ejemplo 7: resuelve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi).

Solución: transfórmalo en un producto con el uso de identidades trigonométricas: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Después, resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2cos x + 1) = 0.

Ejemplo 8: resuelve: sen x - sen 3x = cos 2x. (0 < x < 2Pi).

Solución: transfórmalo en un producto mediante el uso de identidades trigonométricas: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Luego, resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2sen x + 1) = 0.

B. Método 2

Transforma la ecuación trigonométrica dada en una ecuación trigonométrica con una sola función trigonométrica como variable. Existen unos cuantos consejos sobre cómo seleccionar la variable adecuada. Las variables comunes a seleccionar son: sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t y tg (x/2) = t.

Ejemplo 9: resuelve: 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0 < x < 2Pi).

Solución: en la ecuación, reemplaza (cos^2 x) por (1 - sen^2 x), luego simplifica la ecuación:

sen^2 x - 2 - 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Calcula sen x = t. La ecuación se convierte en: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación trigonométrica con 2 raíces reales: t1 = -1 y t2 = 9/5. Se rechaza el segundo t2 ya que es > 1. Después, resuelve: t = sen = -1 --> x = 3Pi/2.

Ejemplo 10: resuelve: tg x + 2 tg^2 x = cotg x + 2.

Solución: calcula tg x = t. Transforma la ecuación dada en una ecuación con t como variable: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Despeja t de este producto, luego resuelve la ecuación trigonométrica básica tg x = t for x.

7Resuelve tipos especiales de ecuaciones trigonométricas.

Existen unos cuantos tipos especiales de ecuaciones trigonométricas que requieren algunas transformaciones específicas. Ejemplos:

a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c ;

a*sen^2 x + b*sen x*cos x + c*cos^2 x = 0.

Solve Trigonometric Equations Step 10.jpg

8Aprende la propiedad periódica de las funciones trigonométricas.

Todas las funciones trigonométricas son periódicas, lo que significa que regresan al mismo valor después de una rotación por un periodo. Ejemplos:

La función f(x) = sen x tiene 2Pi como periodo.

La función f(x) = tg x tiene Pi como periodo.

La función f(x) = sen 2x tiene Pi como periodo.

La función f(x) = cos (x/2) tiene 4Pi como periodo.

Si se especifica el periodo en el problema o prueba, solo tienes que hallar el o los arcos de solución x dentro de este periodo.

NOTA: resolver ecuaciones trigonométricas es un trabajo complicado que a menudo conlleva a errores. Por lo tanto, las soluciones deben revisarse con mucho cuidado. Después de resolver, puedes revisar las soluciones mediante el uso de una calculadora gráfica para graficar directamente la ecuación trigonométrica dada R(x) = 0. Las soluciones (raíces reales) estarán en decimales. Por ejemplo, Pi se expresará en el valor de 3,14.

...