Conversión de sistemas de numeración

SISTEMA DE NUMERACIÓN.

Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos y cantidades. Se caracteriza por su base que es el número de símbolos distintos que utiliza y, además, es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.

Los sistemas de numeración actuales  son sistemas posicionales en los que el valor relativo que representa cada símbolo o  cifra de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.

En este sistema el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,

(5⋅100) + (2⋅10) + (8⋅1) =528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal.

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO.

El sistema de numeración binario es un sistema en base dos porque utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), que tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Ejemplos de números binarios son: 1, 10, 11, 101, 110, 111, 1,101, 1,110, 1,111, etc.

Cada cifra o dígito de un número representado en este sistema se denomina BIT (contracción de binary digit).

Para la medida de cantidades de información representadas en binario se utilizan una serie de múltiplos del bit que poseen nombre propio; estos son:

1 bit = unidad mínima de información.

8 bits = 1 Byte

1 byte =1 letra, numero, símbolo de puntuación.

 Unidades de medida de almacenamiento

1,024 bytes = 1 Kilobyte, Kbyte o KB

1,024 KB= 1 Megabyte, Mbyte o MB (1,048,576 bytes)

1,024 MB= 1 Gigabyte, Gbyte o GB (1,073,741,824 bytes)

1,024 GB= 1 Terabyte, Tbyte o TB (1,099,511,627,776 bytes)

1,024 TB= 1 Pentabyte, Pbyte o PB (1,125,899,906,842,624 bytes)

La estructura  de pesos de un número binario es:

                Máximo número decimal = 2ᶯ - 1
donde n es el número de bits a partir de la coma binaria. Por tanto, todos los bits al lado izquierdo de la coma binaria son potencias  positivas y todos los bits a la derecha de la coma binaria tienen pesos que son potencias negativas o fracciones.

Pesos binarios

En la tabla anterior se puede observar que le peso se duplica para cada potencia positiva de dos y que se reduce a la mitad para cada potencia negativa de dos.

Por ejemplo, con cinco bits (n= 5) podemos contar desde cero hasta treinta y uno.

2⁵-1= 32 -1= 31[pic 1]

                                                                       

                                                                        Tabla de número decimal y binario.                  

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL.

El valor decimal de cualquier número binario puede hallarse sumando los pesos de todos los bits que están a 1 y descartando los pesos de todos los bits que son 0.

Por ejemplo:

1. Convertir el número entero binario 1101101 a decimal:

Se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se obtiene la suma de los pesos para obtener el número decimal.

Peso: 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰
Número binario:   1  1  0  1   1  0   1.
1101101 = 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰
= 64+ 32 + 8 + 4 + 1
= 109

1. Convertir el número binario fraccionario 0,1011 a decimal:

Se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se suman los pesos para obtener la fracción decimal.

Peso:      2ˉ¹  2¯² 2¯³ 2¯⁴
Número binario:  0,  1    0    1    1  .    
0,1011= 2ˉ¹ + 2ˉ³ + 2ˉ⁴
= 0,5 + 0,125 + 0,0625
=0,6875

CONVERSIÓN DE DECIMAL  A BINARIO.

1. Método de la suma de pesos.

Una forma de hallar el número binario equivalente a un número decimal determinado consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma es igual al número decimal.

Por ejemplo, el número decimal 9 puede expresarse como la suma de pesos binarios siguiente:

9= 8 + 1

Colocando los 1s en las posiciones de pesos apropiadas, 2³ y 2⁰, y los 0s en las posiciones 2² y 2¹, se determina el número binario correspondiente al decimal 9.

2³ 2² 2¹ 2⁰

1  0   0  1   Número binario para el decimal 9.

Otros ejemplos serían:

Convertir el número decimal 12 a binario:

12= 8 + 4 = 2³ + 2²                          1100[pic 2]

Convertir el número decimal 82 en binario:

82 = 64 + 16 + 2 = 2⁶ + 2⁴ + 2¹                                          1010010[pic 3]

1. Método de la división sucesiva por 2.

Para obtener el número binario correspondiente a un número decimal dado, divida el número decimal entre 2 hasta obtener un cociente igual a 0. Los restos generados en cada división forman el número binario. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) del número binario y el último resto es el bit más significativo (MSB), es decir, el primer resto es el último en orden del número binario y el último el primero.

Por ejemplo:

1. Convierte a binario el número decimal 12:

12/2 = 6                 0[pic 4]

6/2 = 3                   0[pic 5]

3/2 = 1                   1[pic 6]

1/2 = 0                   1[pic 7]

 Número binario: 1 1 0 0

1. Convierte a binario el número decimal 19:

19/2 = 9               1[pic 8]

9/2 = 4                 1[pic 9]

4/2 = 2                 0[pic 10]

2/2= 1                  0[pic 11]

1/2 = 0                 1[pic 12]

Número binario: 1 0 0 1 1

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO.

1. Suma de pesos: El método de la suma de pesos se puede aplicar a los números decimales fraccionarios, por ejemplo:

0.65 = 0.5 + 0.125 = 2ˉ¹ + 2ˉ³ = 0, 1 0 1

1. Multiplicación sucesiva por 2: Los números decimales fraccionarios pueden convertirse en binarios multiplicando sucesivamente por 2 hasta que el producto fraccionario sea cero o hasta que alcance el número deseado de posiciones decimales. Los dígitos acarreados generados por las multiplicaciones (cualquier número al lado izquierdo del punto decimal) dan lugar al número binario. En este caso el primer acarreo obtenido es el MSB, es decir, es el primero en la formación del número binario, y el último acarreo es el LSB, o sea el último en la formación del número binario.

Por ejemplo:

Convierte a binario el decimal 0.3125:

0.3125 x 2 = 0.625                      0[pic 13]

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