Conversiones De Numeros

SISTEMA DIGITAL

Trabajo 6

Conversión Entre Sistemas de Numeración

Por:

Sábado, 12 Junio 2010

1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN

1.1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

Un sistema de numeración es un conjunto finito de símbolos y reglas que permiten construir todos los números válidos en el sistema; dichos números son usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal.

Puede representarse como:

P = (M, N)

Donde:

 P, es el sistema de numeración considerado (binario, decimal, octal, etc.)

 M, es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7}; en el hexadecimal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.

 N, son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.

1.2. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

1.2.1. Definición

El sistema de numeración decimal es el que utiliza¬mos habitualmente; el cual, se compone de diez símbolos o dígi¬tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra

1.2.2. Descripción

El principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades; llamada decena, el agrupamiento de diez decenas forma una centena, la cual se ubica a la izquierda de las decenas, y así sucesivamente.

1.2.3. Características Principales

 Se compone de diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

 El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10; por ejemplo 528, significa: 5*102 + 2*101 + 8*100.

 En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concreta¬mente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal.

Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:

8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2.

 Las posiciones que puede ocupar un dígito en una cifra son: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

 En el caso de números con decimales, las posiciones de un dígito, después de la coma decimal son: décimos, centésimos, milésimos, etc.

1.3. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

1.3.1. Definición

Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24

1.3.2. Descripción

Un número en el sistema hexadecimal se divide en cifras con diferente peso: 1, 16, 256, 4096, 65536,.... etc.

El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.

Por ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16 en el sistema decimal es:

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160

1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F(16) = 6719(10)

1.3.3. Características Principales

 Se compone de dieciséis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

 Sus símbolos se componen por 10 números y 6 letras.

 El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 16.

 Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación dígitos

1.4. EL SISTEMA DE NUMERACION OCTAL

1.4.1. Definición

Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 8, por tanto, utiliza 8 símbolos diferentes para la representación de cantidades. Estos símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7

En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal

1.4.2. Descripción

Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es necesario pasar por el binario. Para llegar al resultado de 74 en octal se sigue esta serie: decimal >> binario >> octal.

1.4.3. Características Principales

 Se compone de ocho símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

 Una ventaja es que sólo utiliza dígitos y no letras u otro tipo de caracteres.

 El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

 La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2.

 Los dígitos del sistema octal tienen el mismo valor que los del sistema decimal dígitos.

1.5. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA

1.5.1. Definición

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0)

1.5.2. Descripción

Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente, que se escribe a la izquierda de la unidad de orden anterior.

1.5.3. Características Principales

 Se compone sólo de dos símbolos (0, 1).

 El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 2.

 El sistema binario también es denominado lenguaje de bajo nivel.

 La adyacencia es una característica que consiste en que de una combinación binaria a la siguiente, sólo varía un bit (distancia igual a uno). Esta propiedad es aplicable únicamente a las combinaciones binarias de un código, no al código en sí mismo.

 La distancia entre dos combinaciones es el número de bits que cambian de una a otra.

 La continuidad es una característica de los códigos binarios que cumplen que todas las posibles combinaciones del código son adyacentes, es decir, que de cualquier combinación del código a la siguiente cambia un sólo bit.

2. TECNICAS RAPIDAS DE CONVERSION ENTRE SISTEMAS DE NUMERACION

2.1. CONVERSION DE NUMEROS ENTEROS

2.1.1. Decimal – Hexadecimal

La división sucesiva por 16 de un numero decimal generara el numero hexadecimal equivalente formado por los restos de la división. El primer resto que se genera es el digito menos significativo. Cada división sucesiva por 16 dará un resto que el digito del número hexadecimal equivalente.

Ejemplo: Convertir a hexadecimal el numero decimal 650 por el método de divisiones sucesiva por 16

650 = 28A (16)

2.1.2. Hexadecimal – Decimal

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima¬les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.

Un método para encontrar el equivalente decimal de un numero hexadecimal es, primero, convertir el numero hexadecimal a binario y después es binario a decimal.

Ejemplo: Convertir 1C(16) a decimal.

Otro método para convertir un numero hexadecimal a su equivalente decimal es multiplicar el valor decimal de cada digito hexadecimal por su peso, y luego realizar la suma de estos productos. Los pesos de un número hexadecimal crecen según las potencias de 16 (de derecha a izquierda). Para un número hexadecimal de 4 dígitos.

163 162 161 160

4096 246 16 1

Ejemplo: Convertir E5(16) a decimal

E5(16) = (E x 16)+(5 x 1) = (14 x 16)+(5 x 1) = 224+5 = 229(10)

2.1.3. Decimal – Octal

Un método para convertir un número decimal en un número octal es el método de la división sucesiva por 8.

Ejemplo: Convertir 359 a base 8

2.1.4. Octal – Decimal

Ya que el sistema de numeración octal es un sistema de base ocho, cada posición sucesiva de dígitos es una potencia superior de ocho, empezando por el digito situado más a la derecha

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