Cristalográfia

INSTITUTO TECNOLÓGICO

DE OAXACA

Carrera:

Ingeniería Mecánica

Materia:

Química

Unidad: 3 tema: Cristalografía

Docente:

Cand. a Dr. María de Jesús Ramírez Altamirano

Alumno:

Celestino Palacios Bautista

CONTENIDO

• Introducción.

• Objetivo.

• Planos Cristalográficos.

• Índices de Miller.

• Direcciones de Celda.

• Notación de Planos.

• Ley de Schmidt.

• Difusión.

• Primera y Segunda ley de fick.

• Conclusión.

• Bibliografía.

INTRODUCCIÓN

La mayoría de materiales sólidos poseen una estructura cristalina, conformada por el arreglo interno de sus átomos. La descripción de un sólido cristalino es por medio de las redes de Bravais, que especifica cómo las unidades básicas que lo componen se repiten periódicamente a lo largo del cristal.

La cristalografía simplemente es un palabra con un significado elegante:" el estudio de cristales." En alguna ocasión la palabra cristal sólo se refirió a cristal de cuarzo, pero en la actualidad ha asumido una definición tan amplia que incluye a todas las formas cristalinas bien expresadas, además la cristalografía es una ciencia que se ocupa del estudio de la materia cristalina, de las leyes que gobiernan su formación y sus propiedades geométricas, químicas y físicas.

La cristalografía puede estudiarse en muchos niveles, pero no importa cómo sea, elemental o a profundidad la discusión del tema que se tenga, siempre será en algo de geometría y más aún en geometría sólida. Pero si se medita sobre lo cotidiano, es clara la evidencia con que se usa la geometría; cuando se usa el paraguas, cuando se entrega el correo o cuando se trabaja en la computadora. La geometría simplemente trata con relaciones espaciales. En dichas relaciones se ha familiarizado, aunque no se ha profundizado. La palabra importante aquí es "familiar". Se trata esta serie de artículos para ayudar a familiarizarse y, por consiguiente estar más cómodo, con la geometría involucrada con el estudio de formas cristalinas.

OBJETIVO

El presente tema tiene como objetivo conocer la definición de cristalografía, algunos tipos de planos cristalinos, índices de Miller, primera y segunda ley de fick, además de la ley de Schmidt y, entre otros temas que se presentaran a continuación.

También se espera sensibilizar al lector para una mayor apreciación de cristales naturales y sus formas.

PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

Un plano queda perfectamente determinado con tres puntos que no sean colineales. Si cada punto está sobre un eje cristalino diferente, el plano puede especificarse dando las coordenadas de los puntos en función de las longitudes reticulares a, b y c. Sin embargo, resulta de mayor utilidad especificar la orientación de un plano mediante los índices determinados por las siguientes reglas:

1) Se encuentran las intersecciones con los ejes en función de las constantes de la red. Si el plano no corta a un eje, porque es paralelo a él, la intersección se toma como ∞.

2) Se toman los inversos de estos números, y luego se reducen a tres números enteros que tengan la misma relación, normalmente los números enteros más pequeños posibles (La reducción no se realiza cuando queremos referirnos a un plano concreto, y no a un conjunto de planos paralelos entre sí. Por ejemplo, aun cuando los planos (200) y (100) sean paralelos, pueden no tener la misma distribución atómica, de ahí que sea preciso especificar a cuál de ellos nos referimos). Los tres números resultantes, encerrados entre paréntesis, esto es , representan al plano.

Por ejemplo, si las intersecciones son 1, 4 y 2, los inversos serán 1/1, 1/4 y 1/2; los números enteros más pequeños que poseen la misma relación son 4, 1 y 2. Así que el plano se designará como . A continuación se muestran los índices de algunos planos en una celdilla cúbica.

Notación de Miller de algunos planos característicos de un cristal cúbico.

Los planos equivalentes por razones de simetría pueden designarse de manera colectiva encerrando entre llaves los índices de uno cualquiera de sus miembros. Por ejemplo, designa a la familia de planos equivalentes constituida por «todas las caras del cubo». El calificativo de equivalente tiene el mismo sentido que dimos para las direcciones: dos planos serán equivalentes siempre que la distribución atómica sobre ellos sea la misma.

Usando esta notación, resulta que en los sistemas cúbicos, una dirección perpendicular a un plano dado, tiene sus mismos índices. Es decir, la dirección es perpendicular al plano . También se cumple en los sistemas cúbicos que si la arista de la celdilla es a, entonces la distancia del origen a un plano de índices (h k l) se calcula mediante la fórmula siguiente:

Esta es también la distancia entre planos paralelos consecutivos, si los índices h, k y l están reducidos a los enteros más pequeños.

ÍNDICES DE MILLER

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l).

Los índices de Miller son números enteros, negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.

Obtención de los índices de Miller

Los índices de Miller de un plano cristalográfico están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes (x, y, z) de nuestro sistema de ejes coordenados.

Para obtener los índices de Miller de un plano primero determinamos la intersección de este con los ejes. Una vez obtenidos los números, se hallan sus inversos y los multiplicamos por el mínimo común múltiplo (A).

Un plano queda así representado por la forma (h, k, l):

h = A/m; k = A/n; l = A/p

Se deduce que si un plano es paralelo a uno de los ejes, lo corta en el infinito, y su índice será cero. Si lo cortara en la parte negativa, el índice será negativo, lo cual se indicará con un guion sobre dicho índice. Si el plano pasa por el origen se desplazará a una posición equivalente en la celda.

En el caso de que tengamos planos de redes equivalentes, relacionadas por la simetría del sistema cristalino, se le llamara Familia de Planos y se encerraran entre llaves {h, k, l}.

Para determinar los índices de una dirección cristalográfica cualquiera, se traza por el origen una paralela a esta. Sobre ella se toma el nudo (A) arbitrario de coordenadas (x, y, z), tal que sea múltiplo de las aristas (a, b, c) del cubo:

x = r•a ; y = s•b ; z = t•c

Una vez obtenidas (r, s, t) se dividen por su máximo común divisor (D), con lo que resultan los números:

u = r/D ; v = s/D ; w = t/D

La recta queda así definida por sus índices entre corchetes [u, v, w].

Es importante la relación que existe solo en el sistema cúbico, en los que los índices de Miller de una dirección perpendicular a un plano son los mismos.

Para la Familia de Direcciones aquí se usa como notación < u v w >.

DIRECCIONES DE CELDA

Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o dirección que se considere. Por ello, resulta especialmente importante encontrar una forma cómoda y rápida de identificar las direcciones y planos cristalográficos. La notación empleada se denomina notación de índices de Miller.

Tal como se procede habitualmente en matemáticas, las componentes de cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P1 = (u1, v1, w1) es el punto de partida y P2 = (u2, v2, w2), el punto final, el vector que va de P1 a P2 se calculará como:

Pero frecuentemente no estaremos interesados en el módulo del vector, sino sólo en su dirección. La notación de Miller retiene únicamente este aspecto. Los índices de Miller de la dirección del vector son los componentes de , pero reducidos a los enteros más pequeños posibles: h, k y l. La dirección se representaría como . Nótese que los números no van separados por comas y que los paréntesis se han sustituido por corchetes. Si un número es negativo, por ejemplo, -2, se representa como . Naturalmente, tal y como sucede con los vectores libres, bajo la designación están incluidos todas las direcciones paralelas a la considerada. La siguiente figura muestra ejemplos de direcciones en celdillas cúbicas.

Notación de Miller de algunas direcciones características de un cristal cúbico. (Se muestran dos celdillas contiguas para facilitar la visión tridimensional).

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