Demostraciones

Apuntes de L´ogica Matem´atica 3. Razonamientos y Demostraciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Abril de 2005

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Lecci´on 3

Razonamientos y Demostraciones

Contenido 3.1 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Razonamiento V´alido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Reglas de Inferencia m´as Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.4 Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.1 Definiciones Matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.2 Regla de Particularizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.3 Regla de Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 M´etodos de Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.1 Demostraci´on Vac´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.2 Demostraci´on Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.3 Demostraci´on Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.4 Demostraci´on por la Contrarrec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.5 Demostraci´on por Contradicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.6 Bu´squeda de Contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Ten´ıa 40 an˜os cuando por primera vez se fij´o en la geometr´ıa; y ello aconteci´o accidentalmente. Encontr´abase en la biblioteca de un caballero; abiertos estaban los Elementos de Euclides, y fue la 47 El. libri I. Ley´o la Proposici´on. Por D...(pues de cuando en cuando gustaba de proferir un exaltado Juramento, para mayor ´enfasis) ¡esto es imposible! Ley´o pues la Demostraci´on, en la que alud´ıa a una Proposici´on previa; proposici´on que tambi´en ley´o. La cual mencionaba otra anterior, que ley´o tambi´en. et sic deinceps (y as´ı sucesivamente) hasta quedar al fin demostrativamente convencido de aquella verdad. Ello le hizo enamorarse de la geometr´ıa.

Thomas Hobbes (1885-1679)

55

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

Una demostraci´on de una proposici´on significa un argumento convincente de que la proposici´on es verdadera. Las demostraciones de esta clase suelen encontrarse fuera de los cursos de matem´aticas. Los cient´ıficos que hacen predicciones con base en principios cient´ıficos dan demostraciones, en efecto, de que sus predicciones se deducen de sus principios. Los programadores de ordenadores hacen aseveraciones de que sus programas operar´an de acuerdo con sus especificaciones y verifican estas aseveraciones con una combinaci´on de razonamiento y experimentaci´on. Los historiadores cuyo argumento es que cierta serie de decisiones conducen inevitablemente a cierta consecuencia, usan el razonamiento l´ogico para demostrar lo anterior. As´ı, aunque los detalles de escribir una demostraci´on matem´aticamente aceptable pueden pertenecer al terreno de los matem´aticos, el objetivo de comprender lo que constituye un argumento convincente debe ser compartido por cualquiera que espere utilizar los principios matem´aticos y cient´ıficos. Analizaremos, en esta lecci´on, los principios l´ogicos que fundamentan los argumentos convincentes.

Las demostraciones son una forma de comunicaci´on cuyo objetivo es convencer de la veracidad de las afirmaciones que se hacen. La l´ogica sirve como fundamento antecedentemente, salvo cuando haya alguna lagunacomunicativa. Estoes, porlogeneralnoser´anecesariopensarconscientementeenlal´ogica, aunque si una prueba en particular parece complicada, entonces deber´a ser analizada con cuidado. ¿Cu´ales son exactamente las hip´otesis? ¿se utilizan supuestos ocultos? ¿estamos ante una demostraci´on no directa?

3.1 Razonamientos

Estudiamos en este apartado el significado formal del concepto de “razonamiento v´alido” y lo utilizamos para demostrar la veracidad de proposiciones a trav´es de las reglas de inferencia.

3.1.1 Razonamiento

Llamaremos de esta forma a cualquier proposici´on con la estructura P1 ∧P2 ∧···∧Pn −→ Q siendo n un entero positivo.

A las proposiciones Pi,i = 1,2,...,n se les llama premisas del razonamiento y a la proposici´on Q, conclusi´on del mismo.

3.1.2 Razonamiento V´alido

El razonamiento anterior se dice que es v´alido si la conclusi´on Q es verdadera cada vez que todas las premisas P1,P2,...,Pn lo sean.

Nota 3.1 Obs´ervese que esto significa que las premisas implican l´ogicamente la conclusi´on, es decir, un razonamiento ser´a v´alido cuando P1 ∧P2 ∧···∧Pn =⇒ Q Tambi´en, y de acuerdo con ??, podemos decir que el razonamiento es v´alido si el condicional P1 ∧P2 ∧···∧Pn −→ Q es una tautolog´ıa. Esto, a su vez, nos permite aceptar como v´alido el razonamiento en el caso de que alguna de las premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las Pi,i = 1,2,...,n es falsa, entonces P1∧P2∧···∧Pn ser´a falsa, luego el condicional P1∧P2∧···∧Pn −→ Q es verdadero, independientemente del valor de verdad de la conclusi´on Q.

As´ı pues, disponemos de dos formas de probar si un razonamiento es v´alido.

56

...