Demostraciones

Apuntes de L´ogica Matem´atica 3. Razonamientos y Demostraciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Abril de 2005

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

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Lecci´on 3

Razonamientos y Demostraciones

Contenido 3.1 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Razonamiento V´alido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Reglas de Inferencia m´as Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.4 Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.1 Definiciones Matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.2 Regla de Particularizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.3 Regla de Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 M´etodos de Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.1 Demostraci´on Vac´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.2 Demostraci´on Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.3 Demostraci´on Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.4 Demostraci´on por la Contrarrec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.5 Demostraci´on por Contradicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.6 Bu´squeda de Contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Ten´ıa 40 an˜os cuando por primera vez se fij´o en la geometr´ıa; y ello aconteci´o accidentalmente. Encontr´abase en la biblioteca de un caballero; abiertos estaban los Elementos de Euclides, y fue la 47 El. libri I. Ley´o la Proposici´on. Por D...(pues de cuando en cuando gustaba de proferir un exaltado Juramento, para mayor ´enfasis) ¡esto es imposible! Ley´o pues la Demostraci´on, en la que alud´ıa a una Proposici´on previa; proposici´on que tambi´en ley´o. La cual mencionaba otra anterior, que ley´o tambi´en. et sic deinceps (y as´ı sucesivamente) hasta quedar al fin demostrativamente convencido de aquella verdad. Ello le hizo enamorarse de la geometr´ıa.

Thomas Hobbes (1885-1679)

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Una demostraci´on de una proposici´on significa un argumento convincente de que la proposici´on es verdadera. Las demostraciones de esta clase suelen encontrarse fuera de los cursos de matem´aticas. Los cient´ıficos que hacen predicciones con base en principios cient´ıficos dan demostraciones, en efecto, de que sus predicciones se deducen de sus principios. Los programadores de ordenadores hacen aseveraciones de que sus programas operar´an de acuerdo con sus especificaciones y verifican estas aseveraciones con una combinaci´on de razonamiento y experimentaci´on. Los historiadores cuyo argumento es que cierta serie de decisiones conducen inevitablemente a cierta consecuencia, usan el razonamiento l´ogico para demostrar lo anterior. As´ı, aunque los detalles de escribir una demostraci´on matem´aticamente aceptable pueden pertenecer al terreno de los matem´aticos, el objetivo de comprender lo que constituye un argumento convincente debe ser compartido por cualquiera que espere utilizar los principios matem´aticos y cient´ıficos. Analizaremos, en esta lecci´on, los principios l´ogicos que fundamentan los argumentos convincentes.

Las demostraciones son una forma de comunicaci´on cuyo objetivo es convencer de la veracidad de las afirmaciones que se hacen. La l´ogica sirve como fundamento antecedentemente, salvo cuando haya alguna lagunacomunicativa. Estoes, porlogeneralnoser´anecesariopensarconscientementeenlal´ogica, aunque si una prueba en particular parece complicada, entonces deber´a ser analizada con cuidado. ¿Cu´ales son exactamente las hip´otesis? ¿se utilizan supuestos ocultos? ¿estamos ante una demostraci´on no directa?

3.1 Razonamientos

Estudiamos en este apartado el significado formal del concepto de “razonamiento v´alido” y lo utilizamos para demostrar la veracidad de proposiciones a trav´es de las reglas de inferencia.

3.1.1 Razonamiento

Llamaremos de esta forma a cualquier proposici´on con la estructura P1 ∧P2 ∧···∧Pn −→ Q siendo n un entero positivo.

A las proposiciones Pi,i = 1,2,...,n se les llama premisas del razonamiento y a la proposici´on Q, conclusi´on del mismo.

3.1.2 Razonamiento V´alido

El razonamiento anterior se dice que es v´alido si la conclusi´on Q es verdadera cada vez que todas las premisas P1,P2,...,Pn lo sean.

Nota 3.1 Obs´ervese que esto significa que las premisas implican l´ogicamente la conclusi´on, es decir, un razonamiento ser´a v´alido cuando P1 ∧P2 ∧···∧Pn =⇒ Q Tambi´en, y de acuerdo con ??, podemos decir que el razonamiento es v´alido si el condicional P1 ∧P2 ∧···∧Pn −→ Q es una tautolog´ıa. Esto, a su vez, nos permite aceptar como v´alido el razonamiento en el caso de que alguna de las premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las Pi,i = 1,2,...,n es falsa, entonces P1∧P2∧···∧Pn ser´a falsa, luego el condicional P1∧P2∧···∧Pn −→ Q es verdadero, independientemente del valor de verdad de la conclusi´on Q.

As´ı pues, disponemos de dos formas de probar si un razonamiento es v´alido.

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1. Comprobar que el condicional P1 ∧P2 ∧···∧Pn −→ Q es una tautolog´ıa. 2. Comprobar que P1 ∧P2 ∧···∧Pn =⇒ Q.

Ejemplo 3.1 Estudiar la validez del siguiente razonamiento:

Si Torcuato se casa, entonces Florinda se tira al tren. Florinda se tira al tren siempre y cuando Torcuato no se haga cura. Por lo tanto, si Torcuato se casa, entonces no se hace cura.

Soluci´on

Sean

p : Torcuato se casa. q : Florinda se tira al tren. r : Torcuato se hace cura.

El razonamiento escrito en forma simb´olica ser´ıa: [(p −→ q)∧(q ←→¬r)]−→(p −→¬r) Veamos si el razonamiento es v´alido comprobando que es una tautolog´ıa. Obs´ervese que la u´nica opci´on en la que el condicional puede ser falso es que siendo verdad la hip´otesis, (p −→ q)∧(q ←→¬r), la conclusi´on, p −→¬r sea falsa. Ahora bien, p −→¬r es falsa, si p es verdad y ¬r es falso. Por otra parte, para que (p −→ q)∧(q ←→¬r), sea verdad, han de serlo ambas proposiciones y al ser falso ¬r, q tambi´en ha de serlo, por lo tanto la tabla de verdad reducida, ser´a

p q r p −→ q q ←→¬r p −→¬r V F V F V F

[(p −→ q)∧(q ←→¬r)]−→(p −→¬r) V

luego, en efecto, es una tautolog´ıa y, consecuentemente, el razonamiento es v´alido.

Veamos ahora si

[(p −→ q)∧(q ←→¬r)] =⇒(p −→¬r) En efecto, si (p −→ q)∧(q ←→¬r) es verdad, entonces las dos proposiciones p −→ q y q ←→¬r han de ser, ambas, verdad. Estudiemos las opciones que se presentan segu´n los valores de verdad de q.

− Si q es verdad, entonces ¬r ha de ser verdad y p −→¬r es verdad, independientemente del valor de verdad que tenga p. − Si q es falso, entonces p es falso, ¬r tambi´en y, consecuentemente, p −→¬r es verdad. As´ı pues, en cualquier caso, p −→¬r es verdad. Otra forma de razonar ser´ıa partir de que la segunda es falsa y concluir que la primera tambi´en. En efecto, si p −→¬r es falsa, entonces p es verdad y ¬r es falsa y, dado que esta conclusi´on no depende del valor de verdad de q, habr´a dos opciones:

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− Si q es verdad, entonces q ←→¬r es falsa y (p −→ q)∧(q ←→¬r) es falso independientemente del valor de verdad que tenga p. − Si q es falso, entonces p −→ q es falso y por lo tanto, (p −→ q)∧(q ←→¬r) es falso. As´ı pues, en cualquier caso, (p −→ q)∧(q ←→¬r) es falso. Tomando cualquiera de los dos caminos, hemos probado que [(p −→ q)∧(q ←→¬r)] =⇒(p −→¬r) por lo tanto el razonamiento es v´alido. 

3.1.3 Falacia

Llamaremos de esta forma a un razonamiento que no es v´alido.

Veamos ejemplos de las falacias m´as habituales.

Ejemplo 3.2 La falacia de afirmar la conclusi´on. Estudiar la validez del siguiente razonamiento:

Si el mayordomo es el asesino, se pondr´a nervioso cuando lo interroguen. El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron. Por lo tanto, el mayordomo es el asesino.

Soluci´on

Sean

p : El mayordomo es el asesino. q : El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron.

El razonamiento escrito en forma simb´olica

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