Derivada De Una Funcion

Derivada de un funcion y reglas de derivación

Introducción

La derivada de un función en un punto X0 surge del problema de hallar la recta tangente a la curva de la función en el punto de la abscisa (X0,y), fue Piere de Fermat el primero que aporto la primera idea al tratar de buscar los valores máximos y minimos de algunas funciones.

INCREMENTO DE UNA FUNCION

Usualmente empleamos el termino de incremento para referirnos a un cambio en alguna cantidad.

En el esquema anterior consideramos un valor inicial “x” y el correspondiente valor de la función, es decir la imagen “f(x)”, también consideramos un cambio o incremento “h” en “x”, teniendo un nuevo valor “x+h” al cual le corresponde una imagen “f(x+h)”. Dada una función f(x) y un incremento “h” en la variable “x” , el incremento de la función esta dado por:

Incremento relativo de una función:

Dada una función f(x) y un incremento “h” en la variable “x”, el incremento relativo de la unción, o incremento de y por cada unidad que incrementa “x”, esta dado por:

Un análisis de la primera de las graficas, nos permite ver que el incremento relativo de una función corresponde a la pendiente de la recta secante a la curva de la función entre los puntos (x,y) y (x+h,y+Δy).

Ejemplo: Hallar el incremento relativo Δy/h para la función definida mediante:

Solucion:

Esta ultima expresión la dividimos entre “h” para obtener el incremento relativo.

Derivada de una función:

El incremento relativo Δy/h , como se señalo anteriormente, corresponde a la pendiente de la recta secante a la curva de la función, siendo (x,y) y (x+h, y +Δy) puntos de corte de la recta secante y la curva.

Dado que el valor de “h” se puede hacer tan pequeño como se desee, al tomar un valor infinitamente pequeño, los puntos (x,y) y (x+h, y+Δy) tienden a ser el mismo punto y por consiguiente la recta secante tiende a ser una recta tangente a la curva en el punto (x,y).

Definicion operacional de derivada de una función :

Ejemplo de hallarla derivada de una función por definición:

Solución:

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