Las funciones, el límite y la derivada.

UNIDAD 2

Las funciones,

el límite y la

derivada.

f ’(x) =m t g =

En la imagen se observa la grafica de una función con siete rectas secantes que pasan por el punto A. Estas se parecen cada vez mas a la recta tangente a la curva en A .A la izquierda (arriba) de la figura aparéese el símbolo matemático de este proceso.

Propósito

Para iniciar este apartado, espero que te hayas acostumbrado a la dinámica de trabajo propuesta al inicio del curso, porque esta metodología es determinante para tu aprendizaje de cálculo.

Antes de que revises el contenido de esta unidad es muy importante que conozcas: que aprenderás, como lograras y para que aprenderás.

¿Qué aprenderás?

 Identificar los tipos de funciones y sus operaciones básicas.

 Aplicar el Método de Fermat para dibujar rectas tangentes a la grafica de una función en puntos conocidos de la grafica.

 Conocer que es y como se resuelve un limite.

 Conocer que es la derivada y como se deriva una función.

 Aplicar un método para localizar el punto mas alto (y mas bajo) de la gráfica de una función.

¿Cómo lo lograrás?

 Resolviendo problemas geométricos y realizando en equipos un trabajo sistemático y ordenado, como se mencionó en la Unidad 1.

 Analizando los resultados de los distintos problemas sobre el trazo de la recta tangente a la grafica de la función en un punto dado, que se te plantearán en esta unidad, descubrirás regularidades o reglas que funcionen en general para determinar el valor de la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la grafica y para cualquier curva. Estas las aplicaras para dibujarle rectas tangentes y localizar su punto mas alto (y mas bajo). También utilizaras la computadora y la calculadora.

¿Para que aprenderás?

 Para relacionar con contextos numéricos y geométricos el significado de los concepto de límite y derivada

2.1

Introducción.

El análisis de los problemas de optimización que hemos realizado hasta el momento nos lleva a la conclusión de que para resolverlos debemos utilizar un método para localizar el punto mas alto o mas bajo de la grafica, puntos en los que, si existe la recta tangente, esta debe ser horizontal.

El problema de encontrar rectas tangentes a curvas ha ocupado la atención de muchos matemáticos a lo largo de la historia .Al principio no hubo un enfoque único y se idearon numerosos métodos para construir tangentes a ciertas curvas especiales; por ejemplo, los geómetras de la antigua Grecia encontraron los métodos para construir rectas tangentes a las cónicas (circunferencias, parábola, elipse e hipérbola).

Estos métodos son particulares para cada cónica, ya que están apoyados en propiedades geométricas exclusivas de cada una y no funcionan para otro tipo de curva. Considerados de manera aislada, estos procedimientos son muy interesantes, toda vez que sirven como ejercicios extraordinarios de razonamiento geométrico; pero en conjunto arrojan poca luz acerca de la esencia de las tangentes, porque cada procedimiento se aplica a un tipo particular de curvas.

Las invención de la geometría analítica por el francés Rene Descartes (1596-1650)a principios del siglo XVII impulsó notablemente la elaboración de un método mas general para construir tangentes a curvas. Descartes ideó un procedimiento conocido hoy en día con el nombre de Método de las Raíces Iguales , que en su tiempo representó un verdadero adelanto en la búsqueda de un proceso uniforme para encontrar rectas tangentes a curvas, aplicable a todas las curvas que pueden ser representadas con una ecuación de segundo grado; sin embargo, este falla cuando se consideran curvas de tercer grado o mayor.

PIERRE DE FERMAT ENCONTRO LA SOLUCION

La solución de las tangentes tuvo que esperar unos años mas hasta que el francés Pierre de Fermat (1601-1655), considerado uno de los mas notables matemáticos del siglo XVII, desarrolló un proceso para determinar la fórmula que calcula la pendiente de cualquier recta tangente a cualquier tipo de curva. La idea desarrollada por este científico es en realidad muy simple y resultó ser tan general que contribuyó en la elaboración de problemas de optimización.

En esta unidad te enfocaráss al análisis detallado del Método de Fermat para trazar rectas tangentes a diferentes curvas. Te permitirá continuar con el estudio de las funciones, además de acercarte a los conceptos matemáticos del limite y derivada. Al resolver el problema de trazar rectas tangentes a la grafica de una función podrás retornar a solucionar los problemas de optimización que trabajaste en la unida anterior de manera mas eficiente.

ESQUEMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD 2

La siguiente gráfica muestra lo que estudiarás en esta unidad y su propósito es que tengas una idea general de los contenidos matemáticos que vamos a abordar en esta parte del curso.

2.2

Repaso del tema de la recta

Para el trabajo de esta unidad requieres conocimientos del tema de la recta. Por esta razón iniciamos con un repaso de este tópico, para darte la oportunidad de que revises nuevamente algunas cuestiones básicas que ya has abordado en los cursos anteriores de matemáticas.

ACTIVIDADES DE REPASO

1 Dibuja una recta y calculo de su pendiente. Traza la recta que pasa por los puntos (-3, -5 ) y ( 2,5 ); determina el valor de su pendiente (que representaremos como m) y menciona si la pendiente es positiva, negativa o cero.

a Localizar los puntos en el plano cartesiano y por ellos traza la recta ( figura 2.1 ).

Figura 2.1 Gráfica de la recta que pasa por los puntos (-3.-5) y (2,5)

b Calcula la pendiente de la recta.

Como y x1 = -3, y1 = - 5, x2 = 2, y2 = 5 sustituyes obteniendo:

Finalmente el resultado es: m = 2.

c Como puedes observar del cálculo anterior, la pendiente de esta recta es positiva.

OTRA FORMA DE CALCULAR LA PENDIENTE DE LA RECTA

La pendiente de la recta también se puede determinar utilizando una figura geométrica que ya conoces: el triangulo. Puedes dibujarlo utilizando como referencia los puntos con los que trazaste la recta (véase la figura 2.2).

Figura 2.2 Gráfica de la recta que pasa por los puntos (-3.-5) y (2,5) con el triángulo rectángulo

En esta figura, la pendiente de la recta se determina con la relación: . Como puedes observar en la figura, a = 10 y b = 5, entonces

Recomendación: Para que revises si lo anterior esta claro, con tu equipo resuelve los dos problemas siguientes .Anótalos en tu cuaderno. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro.

Actividades de aprendizaje

1 Dibujo de la recta que pasa por dos puntos. Traza las rectas que pasan por las parejas de puntos dados y determina el valor de su pendiente. Una vez dibujadas las rectas, colorea de rojo las que tienen pendiente positiva, de azul las de pendiente negativa y de verde las de pendiente cero.

[a] (-1,4);(2,-3)

[b] (-5,-2);(1,-2)

[c] (2,7);(2,-3)

[d] (-0.5,-0.38);(3.2,-2.43)

[e] (2,-6)

[f] ( 8);(5,-2 )

[g]

[h] (3 6); (-2,6)

[i]

[j] ( -7,2);(-7,6)

[k] 5,-4);(5,2)

[l]

[m] (-4,2);(3,5)

[n]

[o] (-5,1);(4,7)

[p] (0.75,7);(6,-2)

[q] (1,1);(-4,-4)

[r] (0,0);(0,-4)

2 Dibujo de la recta conociendo un punto y su pendiente. Traza la recta que pasa por el punto A y tiene la pendiente indicada en cada uno de los siguientes incisos:

[a] A (-2,4), m = 2

[b] A (1,1), m = 5

[c] A (3,-1), m = -4

[d] A (2,-3), m=

[e] A (-3,-5), m=

[f] A m=

[g] A (-5,-1), m=

[h] A m=

[i] A (4,-7) , m = 6

[j] A (-3,5), m = 0

[k] A (2,-5), m = 0

[l] A (5,6), m =

[m] A (-1,1), m = -8

[n] A (6,6), m = 1

[o] A (-3,3), m = -1

Resúmen

En este repaso del tema de la recta, elaboraste su dibujo conocidos dos puntos por donde pasa y determinaste su pendiente estableciendo que rectas tienen pendientes positivas, negativas o cero. Este conocimiento te será útil en los apartados siguientes, cuando dibujes rectas secantes a la gráfica de una función con el propósito de determinar la recta tangente.

Espero que sigas teniendo éxito en el trabajo planteado en este texto y te recuerdo que si surge alguna duda en el equipo, plantéensela al maestro. ¡Adelante.

2.3

Tipos de funciones

En la unidad 1 realizaste un trabajo con el propósito de que estudiaras las funciones en el contexto de los problemas de máximos y mínimos, así comprendiste el concepto de función, identificaste sus variables , obtuviste su dominio y rango, y aprendiste a elaborar su grafica .

El objetivo de este apartado es complementar el trabajo descrito en el párrafo anterior para que tengas un panorama completo del estudio de las funciones.

Al resolver los problemas de máximos y mínimos en la unidad anterior obtuviste diferentes tipos de funciones; a continuación se describen algunos de ellos.

2.3.1 Función polinomial

Este tipo de función es polinomio: f(x)= a0 + a1 x + a2 x2 +a3x3….+anxn, en el que los coeficientes a0, a1, a2,…an son números reales y los exponentes son números naturales, cada ak xk es un termino del polinomio, a0 es el termino constante, y n es el grado del polinomio (si an ≠ 0).

Dependiendo del grado mayor del exponente, estas se llaman de grado cero, primer grado, segundo grado, tercer grado y así sucesivamente. A continuación se presentan algunas de ellas.

1. Si la función polinomial es de grado cero, entonces f(x) = C y se le llama función constante. Su grafica es una recta horizontal como lo muestra la figura 2.3

Figura 2.3 Gráfica de una función constante

2. Cuando la función polinomial es de primer grado, entonces f (x)= a x + b .Esta se llama función lineal y su grafica es una recta (véase la figura 2.4).

Figura 2.4 Gráfica de la recta cuya función es y = 2x + 1

3. Una función polinomial de segundo grado, tiene la forma de f (x) = a x 2 + b x + c. Esta es llamada cuadrática. Un ejemplo de este tipo de función es la del problema del gallinero: A (b)= b y su gráfica es una parábola (véase la figura 2.5).

Figura 2.5 Gráfica de la parábola cuya función es A (b)= b

4. La función polinomial de tercer grado es de forma f ( x ) = a x3+b x2 + c x + d, y se llama función cubica.Un ejemplo es la función del problema de la caja sin tapa: V(X)= (50-2x) (30 -2x) x y su grafica es como se muestra en la figura 2.6.

Figura 2.6 Gráfica de la función de tercer grado

V(X)= (50-2x) (30 -2x) x

5. Si dos funciones polinomiales se dividen, entonces se obtiene una función llamada racional es decir, f(x) es racional si f (x) = donde g(x) y h(x) son polinomios. Por ejemplo, la función del problema de la lata sin tapa: A(r)=  r2+ , cuya grafica se muestra en la figura 2.7

Figura 2.7Gráfica de la función racional A(r)=  r2+

Cuando una función se puede expresar por medio de sumas, restas, multiplicaciones, división y raíces de polinomios, se llama función algebraica; por ejemplo: la función del problema de la jaula del zoológico A ( b ) = b ( 30 – 2b ) ,la de la lata sin tapa: A ( r ) =  r2+ la función ; f ( x ) = 8x5 - 3 +

Toda función polinomial es una función racional y toda función racional es una función algebraica.

2.3.2 Funciones trascendentes

En matemáticas existen otro tipo de funciones que no son algebraicas: las funciones trascendentes. En este curso estudiaremos las siguientes funciones trascendentes: las funciones trigonométricas, la función logaritmo natural y la función exponencial: estas también son fórmulas de muchos problemas como los que ya se resolvieron en la unidad anterior. Por ejemplo, la función del problema extraclase del tema 1.2 esta compuesta de las funciones trigonométricas sen x y cos x.

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LOGARITMO NATURAL Y EXPONENCIAL

Las funciones logaritmo natural y exponencial son utilizadas para resolver problemas de crecimiento de una población, entre otros. Por ejemplo, es común que a un biólogo le interese conocer el crecimiento de algún virus o de una bacteria; la mayoría de los países necesitan observar el comportamiento de su población a mediano y a largo plazo y en la actualidad es de interés común la propagación de un virus en las computadoras conectadas a Internet.

A continuación se te presentan algunas funciones trascendentes y sus gráficas que has estudiado en tus cursos anteriores de matemáticas:

Esta grafica es un ejemplo de una función trigonométrica.

Figura 2.8 Gráfica de la función trigonométrica y = sen x

Esta es otra gráfica de una función trascendente.

Figura 2.9 Gráfica de la función trascendente y = e x

2.3.3 Operaciones con funciones

El propósito de este apartado es mostrarte las ideas básicas de las operaciones con funciones, las cuales determinan una nueva función. Resulta útil conocer las operaciones, ya que si conoces el comportamiento de la función afectada y las operaciones que se realizan con ella, puedes predecir el comportamiento de la nueva función.

Recomendación: Anota en tu cuaderno cada una de las actividades de este apartado con cada uno de sus incisos. Elabora las gráficas en la computadora. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1 Operaciones con Funciones. Para la función f ( x ) = x2, realiza lo siguiente:

[a] Suma a la Función Original el valor de 2 para obtener la función g ( x ) = x2 + 2. Elabora esta curva y compárala con la grafica de la función f(x)=x2. ¿Qué observas?

[b] Ahora súmale -1 para obtener la función h (x) = x2 - 1. Elabora esta curva y compárala con la de f ( x ) = x2. ¿Qué observas?

[c] ¿Que le sucede a la grafica de la función original de este problema si le sumamos una cantidad c cualquiera para obtener la función g ( x ) = f ( x ) + c?

[d] Ahora grafica la función p ( x ) = ( x + 3 )2, compárala con la curva de f ( x ) = x2 . ¿Qué observas?

[e] Grafica la función q ( x ) = ( x – 2 )2 , y compárala con la de la función f ( x ) = x2 . ¿Qué relación observas entre ambas?

[f] ¿Qué le sucede a la gráfica de la función original de este problema si realizamos la operación g ( x ) = f ( x + c ) donde c es una cantidad cualquiera?

2 Operaciones con f ( x ) = x2 . Elabora la grafica de la función f ( x ) = x2 , y realiza lo siguiente:

[a] Multiplica la función original por el valor de 4 para obtener la función g ( x ) = 4x2. Elabora su gráfica y compárala con la de la función f ( x ) = x2 . ¿Qué observas?

[b] Multiplica f ( x ) = x2 por para obtener m ( x ) = . Grafica esta función.

¿Como es esta curva comparada con la de la función original?

[c] Ahora multiplica por -2 la función original para obtener la función h ( x ) = - 2x2 Elabora su gráfica y compárala con la de la función f ( x ) = x2 . ¿Qué relación observas entre ambas curvas?

[d] ¿Qué le sucede a la gráfica de la función original de este problema, si la multiplicamos por un cantidad c para obtener g ( x ) = c f ( x ) para los siguientes casos: c = 1, c = -1, c > 1, c < -1, 0 < c < 1, -1 < c < 0?

Para que revises si lo anterior esta claro, resuelve con tu equipo el problema siguiente.

3 Operaciones con funciones. Realiza las actividades planteadas en los dos problemas anteriores para las siguientes funciones.

a f ( x ) = x b f ( x ) = x3 c f ( x ) = d f ( x ) = x4

Las operaciones con funciones que se te presentaron en los 3 problemas anteriores son las más elementales. En general las funciones pueden tener fórmulas mas complicadas; por ejemplo f ( x ) = x2 + 5x, esto se denomina en matemáticas una suma de funciones f ( x ) = g ( x ) + h ( x ). Esto es, que f ( x ) esta compuesta por la suma de las funciones g ( x ) = 2x2 y h ( x ) = 5x. .

Con este criterio una función puede expresarse con, sumas, restas, productos, cocientes, o cualquier combinación de este tipo.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

4 Utilizando las funciones g (x) = 2x2 y h (x) = 5x determina: g (x) – h (x), g (x) h (x) y .

Resúmen.

En este apartado estudiaste las operaciones básicas con funciones, y los tipos de funciones que se muestran en el siguiente diagrama:

..

Elaborar la gráfica de una función y utilizar las cuestiones elementales de la recta, son conocimientos que tienes que aplicar en la resolución de las siguientes actividades. Por esta razón, se recomienda que si tienes alguna duda, repases los temas 2.2 y 2.3 antes de iniciar los trabajos del apartado siguiente.

¡ADELANTE!

2.4

La recta secante y la recta tangente

Los problemas siguientes tienen el propósito de que identifiques una recta secante y una recta tangente. Además, se te presentarán las ideas básicas del Método de Fermat para dibujar rectas tangentes a la gráfica de una función en puntos conocidos de la curva.

Recomendación: Anota en tu cuaderno las dos actividades siguientes. Antes de iniciar con su resolución, asegúrate de comprenderlas. Si existen dudas al respecto, consulten con su maestro.

Actividades de aprendizaje

1 Dibujo de rectas secantes. En cada inciso se te proporciona una función y las abscisas de los puntos de la curva. En cada uno de ellos realiza lo siguiente:

1 Traza la grafica de la función.

2 Calcula las ordenadas de los dos puntos dados, localízalos en la grafica y por ellos dibuja la recta secante a la curva.

3 Calcula su pendiente.

[a] y =2-x2; (-3, ) y (1, )

[b] y = x2-3; (-4, ) y (- , )

[c] y = ; (1, ) y (3, )

[d] y = 3 - x3; (0, ) y (3, )

[e] y =3 (x-2)2; (1.5, ) y (3.5, )

[f] y = 4x - x3; (- , ) y ( , )

2 La recta secante y la recta tangente La gráfica 2.10 corresponde a la función f(x)=x2 y la recta p es su tangente en el punto A (1,1). Resuelve las actividades del inciso a) al e).

[a] Traza una recta secante a la gráfica de la función que pase por el punto A y por el punto B de abscisa x = 3. Calcula su pendiente.

[b] Traza una recta secante mas que pase por A y por el punto C con la condición de que C se localice sobre la curva entre A y B .Calcula su pendiente.

[c] Traza una tercera recta secante que pase por A y por el punto D, con la condición de que el punto D corte a la curva ente A y C .Calcula su pendiente.

[d] ¿Cuántas rectas secantes mas como las anterior puedes trazar por el punto A en la gráfica de la función.

[e] De las secantes que dibujaste,¿Cuál se parece mas a la recta tangente p?

Figura 2.10 Gráfica de la función f (x) = x2 con la recta tangente p en el punto A.

Comentario: En el problema anterior se muestran rectas secantes a la gráfica de una función y se determina su pendiente. También se presenta la recta tangente. En los problemas siguientes se verá la utilidad de las rectas secantes para determinar la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado.

2.4.1 Aproximación al valor de la pendiente de la recta tangente ( la idea del límite y la derivada)

Recomendación: En cada uno de los problemas de este apartado, realiza con tu equipo las actividades necesarias para comprenderlo. Anótalo en tu cuaderno .Si existen dudas al respecto, consulten con su maestro.

Actividades de aprendizaje

1 Aproximación a la recta tangente. Dada la función f(x)= , elabora su grafica y localiza el punto B llama a este punto . Llena el siguiente cuadro y traza las rectas secantes a la grafica de la función que en el se indican .En la séptima columna debes escribir las pendientes de las rectas secantes .En la octava escribe la diferencia de las pendientes de los renglones consecutivos .Llena esta columna a partir del segundo renglón. Finalmente, responde las actividades del inciso a) al k).

x0 f ( x0 ) x f ( x ) x - x0 f ( x ) - f ( x0 ) ms m k + 1 – mk

1 ½ 4

1 ½ 3

1 ½ 2

1 ½ 1.5

1 ½ 1.2

1 ½ 1.1

Cuadro 2.1. Información de algunas rectas

secantes que pasan por el punto B.

Recomendación: Para dar respuesta a las actividades siguientes, dibuja con color rojo una recta lo mas parecida posible a la recta tangente en el punto B.

[a] Escribe la fórmula que utilizaste para determinar el valor de la pendiente de las rectas secantes en este problema.

[b] En este cuadro, ¿Qué representan los valores de la quinta columna?

[c] ¿Qué pasa con estos valores a medida que el valor de x se acerca al valor de x0?

[d] ¿Qué le suceda a los valores de la octava columna a medida que crece el número de secantes dibujadas?

[e] ¿Cómo son las rectas secantes a la curva, comparadas con la recta tangente en a medida que los valores de x se aproximan al valor de x0?

[f] ¿Qué sucede con los valores de las pendientes de las rectas secantes en relación con el valor de la pendiente de la recta tangente, a medida que los valores de x se acercan al valor de x0?

[g] ¿Cuál de todas las rectas secantes anteriores tienen una pendiente mas cercana a la pendiente de la recta tangente?

[h] ¿Cuál piensas que sea el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto B?

[i] Con la información obtenida hasta aquí, traza la recta tangente a la gráfica de la función en el punto B.

[j] Dibuja rectas tangentes aproximadas a lo largo de toda la curva .Colorea de rojo la parte de la gráfica donde, si se dibujan rectas tangentes estas tienen pendientes positivas y de azul donde tienen pendientes negativas.

[k] Localiza visualmente las coordenadas del punto mas bajo de la gráfica. ¿Cómo es la recta tangente en este punto? ¿Cuál es su pendiente?

2 Obtención de la recta tangente con la recta secante. Para la función planteada en el problema anterior y utilizando las actividades que realizaste en él, determina el valor aproximado de la pendiente de la recta tangente en el punto (-2,2). Con este valor dibuja la tangente a la curva en este punto.

Sugerencia: Recuerda que para que la recta secante se parezca cada vez mas a la recta tangente el valor de x debe de parecerse al de x0. En este problema el valor de x0 es -2.

3 Dibujo de la recta tangente. Realiza las actividades del problema anterior en los puntos (-2,-2), (-3,-7), (-1,1), (0,2), para la función dada en el problema 1  a , del apartado 2.4 .

Comentarios del trabajo realizado

En la resolución de las actividades 1 2 y 3 pudimos observar que:

 A partir de la última recta secante que dibujaste (que se parecía mucho a la recta tangente), aun se podía dibujar un número muy grande de rectas secantes mucho mas parecidas a la recta tangente.

 Los valores de la pendiente de las rectas secantes (casi iguales a la recta tangente) se parecen cada vez más al valor de la pendiente de la recta tangente . Este proceso de dibujar rectas secantes y calcular sus pendientes no tiene fin.

 Como ya te diste cuenta, en los problemas anteriores se pueden distinguir dos puntos de la gráfica que son muy importantes: un punto por donde se desea trazar la recta tangente a la curva y por donde pasa una infinidad de rectas secantes (punto fijo), y otro punto que se mueve a lo largo de la curva (punto móvil).

En los problemas anteriores se ha manejado la diferencia x-x0 para calcular la pendiente de la recta secante. A esta diferencia se le llama incremento de x, que se denota con los símbolos “h” o “ x ”. En este libro representaremos el incremento de h ( h = x - x0 ).

En los problemas anteriores están presentes algunas ideas importantes del método utilizado en matemáticas para trazar rectas tangentes a la gráfica de una función. Con el trabajo propuesto en los problemas siguientes se mejorarán estas ideas y el método. Para esto incorporaremos a los problemas el incremento de x, es decir, h.

Actividades de aprendizaje

4 Dibujo de la recta secante dado el incremento de x. Tomemos la gráfica de la función f (x)=x2 (véase la figura 2.11). Localizaremos el punto fijo ( -2, 4 ) al cual llamaremos [ x0 ,f ( x0 )].figura 2.11.

Figura 2.11 Gráfica de la función f (x) = x2 con el punto fijo ( -2, 4 ) .

Primero veamos como se dibuja una recta secante a la grafica de la función si conocemos el valor del incremento de x.

Dibujemos la recta secante que pasa por el punto fijo (-2,4) y h=3.

 De acuerdo con el trabajo realizado en los problemas anteriores, sabes que para dibujar la recta secante necesitas conocer dos puntos de la gráfica por donde pasa la recta secante: el punto fijo y el punto móvil. Localicemos estos puntos. De la información de la actividades sabemos que el punto fijo es (-2,4).

 El punto móvil se desconoce, por lo que tenemos que calcular sus coordenadas. Llamemos [x, f(x)] a las coordenadas de este punto. Entonces nuestro problema será determinar el valor de x y f(x).

 Cálculo de la abscisa del punto móvil ( x ).

Sabemos que el incremento de x es: h = x - x0.

 En este problema conocemos que x0 = -2 y h = 3. De la relación anterior despejamos x y obtenemos que x = x0 + h. Con esta fórmula calculamos el valor de x, sustituyendo x0 = -2 y h = 3: x = -2 + 3. De aquí obtenemos que la abscisa del punto móvil es: x = 1.

Ahora calculemos la ordenada f ( x ) del punto móvil

Sustituimos x = 1 en la función f ( x ) = x2 y obtenemos: f (1)= 12. De aquí obtenemos que la ordenada del punto móvil es: f (1)=1

Conclusión: Las coordenadas del punto móvil son (1,1).

Realiza lo siguiente:

1. Con las coordenadas del punto fijo y el punto móvil dibuja la recta secante.

2. Revisa el proceso descrito en esta actividad para dibujar la recta secante con tu equipo dibuja las rectas secantes que pasan por el punto fijo si se conoce qué h = -2, h = 4 y h = -5.

Ahora calculemos la pendiente de las rectas secantes que pasan por el punto fijo.

 Del trabajo realizado en los problemas anteriores, sabes que si conoces las coordenadas del punto fijo [x0, f(x0)] y del punto móvil [ x, f(x) ], la pendiente se determina:

( 1 )

 Utiliza la fórmula 1 y calcula la pendiente de las rectas secantes de este problema.

Veamos otra manera de calcular la pendiente de las rectas secantes que pasan por el punto fijo. Esta forma nos ofrecerá la oportunidad de mejorar el proceso para dibujar rectas tangentes y acercarnos mas al Método de Fermat.

 Para la recta secante que pasa por el punto fijo ( -2, 4 ) y h = 3. Utilizando esta información calculemos su pendiente.

 Es claro que en esta información no están las coordenadas del punto móvil, entonces ¿Cómo le hacemos para calcular la pendiente de la recta secante?

 Una posibilidad es que elaboremos una fórmula a la medida de la información que tenemos; es decir, hacer una fórmula que calcule la pendiente de la recta secante utilizando los valores de esta fórmula, sustituiremos f ( x0 ) = 4 y h en (1), obteniendo.

( 2 )

 Para concluir la elaboración de la fórmula, en la relación anterior, necesitamos determinar el valor para la ordenada del punto móvil f ( x ) en términos de las coordenadas del punto fijo ( -2, 4 ) y h.

Recordarás que la abscisa del punto móvil x se determina así: x = x0 + h. Sustituyendo x 0 = -2, obtenemos x = -2 + h. Para determinar la ordenada del punto móvil, f(x), sustituimos x = -2 + h en la función: f ( x ) = x 2 :

f ( -2 + h ) = ( -2 + h )2

 Sustituye este valor en 2, obtenemos:

m s = (3)

 Una situación determinante que te ayudará a resolver el problema de trazar rectas tangentes a la gráfica de cualquier función es poder desarrollar el proceso para simplificar la fórmula anterior.

Conclusión: Cuando la función es f ( x ) = x2 la formula que calcula la pendiente de las rectas secantes que pasan por el punto fijo en términos de las coordenadas del punto fijo (-2,4) y h es: m s = .

Realiza lo siguiente:

1.-Simplifica la fórmula 3.

2.-Con esta fórmula calcula la pendiente de las rectas secantes de este problema y compara estos valores con los que obtuviste la formula (1).

Con tu equipo revisa el trabajo descrito en la actividad anterior y resuelve lo siguiente.

5 Dibujo de la recta secante dado el incremento de x. en cada uno de los incisos siguientes se te proporciona la función, un punto fijo y algunos incrementos de x. para cada inciso dibuja una gráfica de la función con las rectas secantes que se indican; en cada recta secante señala con color rojo el valor de h. escribe la fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante que pase por el punto fijo en términos de los valores del punto fijo y h. simplifícala y con esta calcula la pendiente de la recta secante.

[a] f ( x ) = x2 A (1, 1) h=2 h=4 h=1.5

[b] f ( x ) = 2x2 – 4 B (2, 4) h=-2 h=-3.5 h=1.5

[c] f ( x ) = 25x - x2 P (10,150) h=15 h=-10 h=-5

[d] f ( x ) = x3 T (-1,-1) h=0.5 h=2.5 h=3

[e] f ( x ) = 4x - x3 O (-2,0) h=1 h=5 h=3

[f] f ( x ) = x4 S (-1, 1) h=2 h=-1 h=-2

[g] f ( x ) = Q h=2 h=-4 h=1.5

[h] f ( x ) =x+ R (1, 2) h=1 h= h=-2

[i] f ( x ) = P h=1.5 h=2.5 h=-5

[j] f ( x ) = x2 - U (-4, 16.5) h=10 h=8 h=-6

[k] f ( x ) = M (1, 1) h=-2 h=1 h=3

[l] f ( x ) = T (-1,-1) h=-2 h=-3.5 h=1.5

6 Elaboración de la fórmula para calcular la pendiente de la recta secante en términos de x0 y h. En el problema anterior obtuviste, entre otros elementos, para cada función f(x), una fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante a una curva que pasa por un punto fijo en términos de los valores de este y h. Esto puede hacerse para cualquier punto de la curva. Para las funciones del problema anterior llama a las coordenadas de un punto fijo “cualquiera” y obtén en cada caso una fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante que pasa por el punto fijo, expresada en términos de la abscisa del punto fijo y h. Simplifica esta fórmula.

Recomendación: Se sugiere que dibujes la gráfica de la función y localices un punto fijo cualquiera . Por el traza luego algunas rectas secantes que te ayuden a obtener la recta tangente.

7 La recta secante se aproxima cada vez mas a la recta tangente. Para cada uno de los incisos que se te dan en la actividad 5 considera la función y el punto fijo que se te proporcionan. Para cada uno de ellos realiza los siguiente:

[a] Elabora una gráfica de la función, llena el cuadro 2.2 y traza las rectas secantes que se indican en él. Escribe la fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante a la curva que pasa por el punto fijo, en términos de la abscisa el punto fijo, x0 y de h. Simplifica esta fórmula.

Recomendación: Para dar respuesta a las actividades siguientes, dibuja con color rojo una recta lo mas parecida posible a la recta tangente en el punto fijo.

[b] ¿Qué pasa con las rectas secantes a la curva en relación con la recta tangente en el punto fijo, cuando los valores de h se acercan al cero?

[c] ¿Qué sucede con los valores de las pendientes de las rectas secantes en relación con el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto fijo, a medida que los valores de h se acercan al cero?

[d] ¿Qué sucede con el valor de la columna 4 por la izquierda y por la derecha, a medida que los valores de h se acercan al cero?

[e] ¿A partir de que recta secante la diferencia del valor de las pendientes de las rectas secantes m k + 1 – m k es menor que 0.1? (agrega renglones si es necesario) ¿Después de esta recta secante siempre es así?

[f] ¿Cuál piensas que es el valor de la pendiente de la recta tangente?

Recomendación: Para dar respuesta a la pregunta anterior observa en el cuadro ¿hacia que el valor tienden las pendientes de las rectas secantes por la izquierda y por la derecha? También revisa las respuestas que diste en los incisos  b  y  c .

[g] Utilizando papel milimétrico, elabora la gráfica y traza en ella la recta tangente a la curva en el punto fijo.

Por la izquierda Por la derecha

x0 h ms mk+1-mk x0 h ms mk+1-mk

-4 4

-3 3

-2 2

-1 1

-0.5 0.5

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

Cuadro 2.2. Tabla de información de algunas

rectas secantes del problema 7 .

[h] Apoyándote en la gráfica de la función, determina visualmente las coordenadas del punto mas alto o mas bajo y localízalo en la gráfica. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en esos puntos?

[i] Colorea de rojo la parte de la gráfica donde si se dibujan rectas tangentes estas tienen pendientes positivas y de azul donde tienen pendientes negativas.

 Comentarios del trabajo realizado

 En los problemas anteriores estudiaste nuevamente algunas ideas importantes del método que se utiliza en matemáticas para trazar rectas tangentes a la gráfica de cualquier función. Con el trabajo propuesto en los problemas siguientes continuaremos mejorando estas ideas y el método.

 Como ya observaste en los problemas anteriores, el trabajo para aproximarse a la recta tangente a través de las rectas secantes no tienen fin; entonces, ¿Cómo saber que te estas aproximando cada vez mas al valor de la pendiente de la recta tangente?

 Una manera de garantizar que te estas aproximando al valor de la pendiente de la recta tangente consiste de asegurarte de que, después de una cierta recta secante cuya pendiente denotaremos (mk), la diferencia de los valores de las pendientes de dos rectas secantes es menor que cierto número fijado de antemano. Este criterio se basa en un teorema del brillante matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) y formalmente se trata de lograr que , donde a la épsilon ( ) se le asigna un valor numérico cercano al cero; por ejemplo, en el problema anterior =0.1

 En los tres problemas siguientes trabajarás las ideas de los problemas anteriores utilizando como apoyo la computadora (siempre y cuando tengas acceso al programa que se te recomienda) con el propósito de que mejores tu comprensión del tema .Para ello utiliza los problemas 5 , 6 y 7 de este apartado.

2.4.1.1 Trabajo con la computadora del valor de la pendiente de la recta tangente

Comentarios introductorios

1. Para la resolución de los siguientes problemas te auxiliarás de la computadora utilizando el paquete G.C GRAFICOS.

2. El paquete G.C GRAFICOS se puede utilizar en cálculo para realizar tareas laboriosas en las que se invierte mucho tiempo y esfuerzo .A continuación se te proporciona información elemental del paquete con la finalidad de que adquieras los elementos mínimos para manejarlo.

 Para entrar al paquete teclea GRAFICOS y presiona ENTER.

 La información que aparece en la primera pantalla es la presentación del paquete. Para continuar presiona ENTER.

 Ahora aparecerá el menú principal que consta de 18 temas matemáticos de calculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales y otras áreas de las matemáticas; para introducirte en algunos de ellos solo teclea el número o la letra indicados.

 El menú principal es el siguiente:

1. Buscar instrucciones de funciones.

2. Dibujar gráficos.

3. Ampliar.

4. Derivadas.

5. Integral.

6. Solucionar ecuaciones numéricas.

7. Polinomios de Taylor.

8. Función “copo de nieve”.

9. Definir funciones propias.

10. Alto.

a. Representación parámetro de curva.

b. Representación parámetro en el espacio.

c. Funciones complejas.

d. Ecuaciones diferenciales.

e. Ecuaciones diferenciales de segundo grado.

f. Ecuaciones diferenciales simultáneas.

g. Funciones de dos variables.

h. Opciones.

3. En esta actividad sólo utilizaremos la opción 4 del menú principal, que corresponde al tema de derivar. Se sugiere que explores el paquete para que conozcas las demás opciones y las consideres para su uso en este momento o en otro de este mismo curso o de otros posteriores.

Actividades de Aprendizaje

1 Dibujo de la recta secante con ayuda de la computadora. Del problema 5 del apartado 2.4.1, selecciona los incisos que consideres pertinentes. Utilizando la computadora, dibuja un gráfica de la función con la recta secante que se indica. Para ello realiza las actividades siguientes:

[a] Inicia el Paquete G.C.GRAFICOS.

[b] Para resolver los problemas elige la opción 4 del menú.

[c] Introduce los elementos que se te dan en el problema: la función, el punto fijo y el Incremento de x. Del menú que aparece en la pantalla en este momento, elige la opción. ESPERE y finalmente, para la resolución del problema, activa APUNTE. Copia en tu cuaderno un bosquejo de lo que aparece en la pantalla indicando los puntos de la curva por donde pasa la recta secante; además, anota sobre ella su pendiente.

[d] ¿Cuántas rectas secantes a la curva pueden pasar por el punto fijo?

2 Aproximación a la recta tangente con la ayuda de la computadora. En cada uno de los incisos que se te dan en el problema anterior, considera la función y el punto fijo. En cada uno de ellos realiza las actividades que se te indican.

[a] Inicia el paquete G.C.GRAFICOS y elige la opción 4 del menú.

[b] Introduce los elementos que se te dan en la actividad: la función, el punto fijo y el incremento de x (en el cuadro 2.3). Del menú que aparece en pantalla en este momento, elige la opción NORMAL y finalmente, para la resolución del problema, activa APUNTE. Con los resultados que aparejen en pantalla completa el cuadro 2.3

[c] ¿Cuál piensas que es el valor de la pendiente de la recta tangente?

Por la izquierda Por la derecha

x0 h ms mk+1-mk x0 h ms mk+1-mk

-4 4

-3 3

-2 2

-1 1

-0.5 0.5

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

Cuadro 2.3. Cuadro con información de algunas

rectas secantes de la actividad 2 .

Por la izquierda Por la derecha

x0 h ms mk+1-mk x0 h ms mk+1-mk

-4 4

-3 3

-2 2

-1 1

-0.5 0.5

-0.1 0.1

-0.01 0.01

-0.001 0.001

Resumen

Con el trabajo realizado en este apartado observaste que por un punto fijo dado de la gráfica de una función puedes trazar un número de rectas secantes que no tienen fin y que estas, cada vez más, se van pareciendo a la recta tangente a la gráfica en ese punto. Con este proceso obtuviste el valor aproximado de la pendiente de la recta tangente y con esta pendiente dibujaste la recta tangente a la curva en el punto fijo dado.

Utilizaste también la computadora al resolver este tipo de problemas, para que los cálculos repetitivos y la elaboración de las graficas las elaborara la máquina rápidamente y emplearas tu tiempo en observar con detenimiento las cuestiones mas importantes del proceso de resolución de este problema.

2.4.2 Obtención del valor exacto de la pendiente de la recta tangente (el limite y la derivada)

Con el trabajo realizado hasta aquí, utilizaste un método numérico- geométrico para dibujar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto fijo conocido. En realidad se pueden dibujar tantas rectas tangentes a la grafica de una funciona como puntos hay en la curva, así que el proceso estudiado no podría ser utilizado (aun en el caso de emplear la computadora ) cuando quieras dibujar varias rectas tangentes , ya que emplearías demasiado tiempo y esfuerzo en hacerlo. En las actividades de este apartado concluiremos el estudio del Método de Fermat, empleando por los matemáticos para resolver este problema.

Actividades de aprendizaje

1 Obtención del valor exacto de la pendiente de la recta tangente. Elabora la gráfica de la función f ( x ) = x 2 y traza la recta en cada uno de los puntos (-3,9),(-2.5,6.25),(-1,1),(0,0),(1.5,2.25),(2,4),(3,9),(4,16) y (8,64).

Recomendación: Anota la actividad y con tu equipo realiza las actividades necesarias para comprenderla. Aquí emplearás los conocimientos que estudiaste en esta unidad en los temas 2.2 y 2.4. Si existen dudas al respecto repásalos.

RESOLUCION DEL PROBLEMA

Si aplicamos el proceso numérico-geométrico para obtener una recta tangente que estudiamos en los problemas anteriores, necesitaremos trabajar una hora clase o más. Vale la pena resaltar el hecho de que queremos dibujar 9 rectas tangentes. Llevaremos a cabo algunos pasos de este proceso

a. .Iniciemos elaborando la grafica de la función f(x)=x2 (véase la figura 2.12).

Figura 2.12 Gráfica de la función f (x) = x2 .

b. Para obtener la primera recta tangente, toma el punto fijo (-1,1). Dibuja las rectas secantes necesarias para determinar la recta tangente. Recuerda que la recta secante debe parecerse cada vez mas a la recta tangente. Discute con tu equipo las condiciones que se estudiaron en el apartado 2.4 para que la recta secante se parezca cada vez mas a la recta tangente; escríbelas en tu cuaderno y señálalas en la gráfica.

c. Elabora la fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante, como las que dibujaste en la actividad anterior en términos de x0 y h.

 Sabes que la fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante que pasa por el punto fijo y por el punto móvil es:

donde son las coordenadas del punto fijo, son las coordenadas del punto móvil y h = x - x0. Nótese que x = x0 + h.

 Si aplicas los procesos que estudiaste en los problemas anteriores llegarás a establecer que las coordenadas del punto fijo y del punto móvil en términos de x0 y h son (verifícalo con tu equipo):

Punto fijo:

Punto móvil: .

 Sustituye las coordenadas de estos puntos en (1) y escribe la formula que calcula la pendiente de la recta secante en términos de x0 y h.

d. Obtén la fórmula simplificada para calcular la pendiente de las rectas secantes.

 De tus estudios de álgebra discute con tu equipo cual es la idea general para llevar a cabo una simplificación y escríbela. Recuerda esta idea siempre que realices una simplificación.

 Lleva a cabo las operaciones que se indican en el numerador y denominador .En el numerador eleva el binomio al cuadrado y suma los términos semejantes .En el denominador suma los términas semejantes.

 Divide entre h (recuerda que h para una recta secante cualquiera). Espero que la fórmula simplificada para calcular la pendiente de la recta secante que obtuviste sea:

m s = 2x0 + h ( 2 )

e. Con la fórmula (2) podemos determinar la pendiente de la recta secante para cualquier valor de h como 4, 3, 2, 1,0.5, 0.1… y cualquiera valor tan cerca del cero como queramos; la condición será que h para garantizar que la recta sea una secante.

Recomendación: Con tu equipo discute hacia que valor se acerca ms = 2x0 + h cuando h se aproxima cada vez mas al cero.

f. Revisa con tu equipo si es necesario efectuar todo el proceso de simplificación de la fórmula para finalmente sustituir h = 0. ¿Se podrá efectuar esta sustitución en la fórmula que elaboraste en el inciso c) ¿ ¿Por qué?

g. Entonces hemos obtenido una fórmula para determinar la pendiente de la recta tangente ( mtg = 2x0 ) de manera directa. Y con esta fórmula procederemos a calcular la pendiente de la recta tangente en cualquier punto fijo de la gráfica y enseguida la dibujamos.

 Para el punto fijo que estas estudiando (-1,1), x0 = -1. La pendiente de la recta tangente es: mtg = 2 (-1) = -2.

Con esta información se dibujaría una recta por el punto (-1,1) de la gráfica, como la ilustración de la figura 2.13.

Figura 2.13 Dibujo de la recta tangente en (-1,1)

 Ahora tomamos otro punto fijo dado en el problema: (-3,9), donde x0 = -3.

La pendiente de la recta tangente es: mtg = 2 (-3) = -6.

Con esta información se dibujaría una recta por el punto (-3,9) de la grafica, como la ilustra la figura 2.14.

Figura 2.14 Dibujo de la recta tangente en (-3,9)

 Ahora tomamos otro punto fijo (-2.5, 6.25), donde x0 = -2.25. La pendiente de la recta tangente es: mtg = 2 (-2.5) = -5.

Con esta información se dibujaría una recta por el punto (-2.5, 6.25) de la grafica, como lo ilustra la figura 2.15.

Figura 2.15 Dibujo de la recta tangente en (-2.5,6.25)

Un dibujo de la gráfica con las rectas tangentes en los puntos (-3,9), (0,0) y (2,4) queda como lo ilustra la figura 2.16.

Figura 2.16 Gráfica de la función f(x) =x2 con las rectas tangentes en (-3,9); (0,0) y (2,4).

h. Concluye el cálculo de la pendiente de la recta tangente en los puntos fijos que faltan y dibújalas.

Recomendación: Para que revises si lo anterior esta claro, con tu equipo resuelve la actividad siguiente. Anótala en tu cuaderno. Si existen dudas al respecto consulta con tu profesor.

Actividades de aprendizaje

2 Dibujo de rectas tangentes a la gráfica de una función. En cada inciso se te proporciona una función y algunos puntos fijos. Encuentra la fórmula para calcular las pendientes de cualquier recta tangente a la curva en cualquier punto fijo (compárala con la respuesta). Con este resultado, calcula la pendiente de la recta tangente en cada uno de los puntos y dibújala.

[a] f(x) = x2 en (-2,4),(-4,16),(3,9) R. mtg=2x0

[b] f(x) =2x2-4 en (-1,-2), (0,-4), (2,4),(3,4) R. mtg=4x0

[c] f(x) =25x-x2 en (5,100), (10,150), (20,100) R. mtg=25-2x0

[d] f(x) =x3 en (-1,-1), (2,8), (-2,-8) R. mtg=3x

[e] f(x) =4x-x3 en (-2,0), (0,0), (1,3) R. mtg=4-3x

[f] f(x) =x4 en (-1,1), (2,16), (0,0) R. mtg=4x

[g] f(x) = en R. mtg=

[h] f(x) =x+ en (1,2), (-1,-2), (2,2.5) R. mtg=1+

[i] f(x) = en R. mtg=

[j] f(x) =x2- en (-4,16.5) R. mtg=2x0+

[k] f(x) = en (1,1), (4,2), (9,3) R. mtg=

[l] f(x) en (1,1), (8,2), (27,3) R. mtg=

[m] en (1,1), (16,2), (81,3) R. mtg=

[n] f(x)=5 en (-4,5), (0,5), (3,5) R. mtg=0

[o] f(x)=-7 en (-2,-7), (0,-7), (4,-7) R. mtg=0

[p] f(x)=2x+3 en (-3,-3), (0,3), (2,7) R. mtg=2

[q] f(x)=-4x+1 en (-2,9), (0,1), (5,-19) R. mtg=-4

Resúmen

El propósito de esta unidad es que puedas trazar las rectas tangentes a una curva en un punto dado (para ello necesitas conocer su pendiente y porque punto pasa). Con el trabajo hasta aquí realizado has alcanzado ese objetivo; es importante recordar que las ideas expuestas en la solución de este problema son las que utilizó el matemático Pierre de Fermat en el siglo XVII, por lo que este método es conocido como Método de Fermat.

ASPECTOS MÁS RELEVANTES DEL METODO DE FERMAT

1. Dada una función cualquiera y = f ( x ) y un punto cualquiera en su gráfica llamado punto fijo de coordenadas , en el que se desea trazar una recta tangente, trazamos rectas secantes que pasen por el punto fijo y otro punto de la curva a la que llamamos móvil de coordenadas , donde h .

2. Estos dos puntos que pertenecen a la curva determinan una recta secante a la misma, cuya pendiente se calcula con la siguiente fórmula .

3. Cuando h es muy pequeña, es decir cuando su valor es casi cero, la recta secante esta muy cercana a la recta tangente a la curva en el punto y, por tanto, la pendiente de la recta secante es casi igual a la pendiente de la recta tangente.

4. De lo anterior se desprende que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto , que llamamos mtg, es el valor al que se aproximan las pendientes de las rectas secantes (ms) a la curva que pasan por el punto fijo cuando el valor de h se acerca a cero. Ese valor se denomina valor límite y se escribe de la siguiente manera.

m tg =

y se lee: la pendiente de la recta tangente a la curva mtg es el límite de las pendientes de las rectas secantes (ms) cuando h tiende a cero. Como

finalmente el valor de la pendiente de la recta tangente se escribe:

siempre y cuando este límite exista y la función sea continua.

Comentario

Con el trabajo realizado hasta aquí te hemos presentado el Método de Fermat que se utiliza en matemáticas para trazar rectas tangentes a la gráfica de una función. A continuación se expone el problema 3 a manera de recapitulación. Se te recomienda leerlo y comentarlo con tu equipo, si tienes dificultades para su comprensión no duden en acudir con su maestro.

Actividades de aprendizaje

3 Recapitulación del Método de Fermat. Utilizando el Método de Fermat, halla la fórmula para determinar la pendiente de cualquier recta tangente a la gráfica de la función. Una vez obtenida la fórmula, traza tres rectas tangentes en puntos de la curva de tu elección. Haz este trabajo para las funciones.

f ( x ) = -5x3 y f ( x ) =

APLICACIÓN DEL METODO DE FERMAT PARA LA FUNCION f ( x ) = - 5x3

a. Inicia con la elaboración de la gráfica de la función (véase la figura 2.18)

Figura 2.18 Gráfica de la función f(x) = - 5x3

b. En la gráfica traza rectas secantes para aproximar a la recta tangente en un punto fijo cualquiera de coordenadas (véase la figura 2.19). Determina las condiciones para que la recta secante se parezca cada vez mas a la recta tangente; escríbelas y señálalas en la gráfica.

Figura 2.19 Gráfica de la función f(x) = - 5x3 con rectas secantes.

c. Elaboras la fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante, en términos de x0 y h.

 Recuerda que la fórmula para calcular la pendiente de la recta secante que pasa por el punto fijo y por el punto móvil es:

ms= ( 1 )

donde son las coordenadas del punto fijo y son las coordenadas del punto móvil y h = x - x0. Nota que x = x0 + h.

 Obtienes las coordenadas del punto fijo y punto móvil en términos de x0 y h.

Punto fijo ( x0 - 5x0 3 ) y punto móvil  ( x0 + h ). – 5 ( x0 + h ) 

 Sustituyes las coordenadas de estos puntos en (1):

ms=

 Como m tg = , entonces m tg =

d. Para obtener la pendiente de la recta tangente tienes que determinar la expresión anterior, que se llama límite. Las ideas matemáticas que se utilizan para encontrar el límite son como las que aparecieron en la resolución de los dos problemas anteriores de este subtema, por lo que es recomendable que los revises.

Determinación del limite m t g =

 Discutes con tu equipo cuál es la idea general que pondrás en práctica para encontrar el límite. Escríbela y recuérdala siempre que quieras determinar uno.

 Realiza las operaciones en el numerador. Elevar el binomio al cubo y multiplicarlo por -5 y multiplicar -1 por -5x . Obtienes:

m tg =

 Sumas los términos semejantes:

m tg =

 Divides entre h porque h :

m tg =

 A medida que h se hace cada vez mas pequeña, los términos 15x0 h y 5h2 se aproximan cada vez mas a cero. De lo anterior se concluye que el límite es -15x .

 Entonces la formula para mtg es:

m tg = -15x

 Discute con tu equipo si es necesario efectuar el proceso de simplificación de la formula para finalmente sustituir h = 0.

En los casos vistos hasta aquí, para encontrar el límite cuando h tiende a 0, basta sustituir el valor de h por 0 en la expresión que se esta analizando. Esto no siempre es así, posteriormente se discutirá con mas detalle al estudiar el concepto del límite en el apartado 2.5 de esta unidad.

e. Determinado el límite, obtienes la fórmula para calculara la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de tu curva. Con esta fórmula dibuja las tres rectas tangentes a la gráfica de la función en tres puntos de tu elección:

 Para el punto (-2,40) se tiene que

m tg = -15(-2)2= -60

m tg = -60

 Para el punto (-1,5) se tiene que

m tg = -15(-1)2= -15

m tg = -15

 Para el punto (2,-40) se tiene que

m tg = -15(2)2= -60

m tg = -60

Las rectas tangentes quedan dibujadas como lo indica la figura 2.20

Figura 2.20 Gráfica de la función f(x) = - 5x3 con rectas tangentes en (-2,40); (-1,5) y (2,-40).

APLICACIÓN DEL METODO DE FERMAT PARA LA FUNCION

a. Inicias la elaboración de la gráfica de la función (véase la figura 2.21).

Figura 2.21 Gráfica de la función f(x) = .

b. En la gráfica traza las rectas secantes para aproximarte a la recta tangente en un punto fijo cualquiera de coordenadas (véase la figura 2.22). Determina las condiciones para que la recta secante se parezca cada vez mas a la recta tangente; escríbelas y señálalas en la gráfica.

Figura 2.22 Gráfica de la función f(x) = con rectas secantes.

c. Elaboras la fórmula para calcular la pendiente de cualquier recta secante en términos de x0 y h.

 Sabes que la fórmula para calcular la pendiente de la recta secante que pasa por el punto fijo y por el punto móvil es:

m s = ( 1 )

donde son la coordenadas del punto fijo, son las coordenadas del punto móvil y h = x - x0. Nota que x = x0 + h.

 Obtienes las coordenadas del punto fijo y punto móvil en términos de x0 y h.

Punto fijo y punto móvil

 Sustituyes las coordenadas de estos puntos en (1):

Ms=

 Como m tg = ms , entonces m tg =

d. Para obtener la pendiente de la recta tangente tienes que encontrar el límite anterior. Las ideas matemáticas que se utilizan para determinar ya las estudiaste en los problemas de este subtema, por lo que es recomendable que los revises.

DETERMINACION DEL LÍMITE m tg =

 Discute en tu equipo cual es la idea general que pondrás en práctica para encontrar el límite. Escríbela y recuérdala siempre que quieras determinar uno.

 Realiza las operaciones indicadas en el numerador. En este caso es una suma de fracciones:

 Obtienes el común denominador: Con este denominador determinas las fracciones equivalentes a . Nos queda lo siguiente:

 Sumas las fracciones del numerador:

 Divides la fracción (aplica la ley de la tortilla):

 Divides entre :

 Para obtener la formula para calcular la pendiente de las rectas tangentes sustituyes h = 0:

Conclusión: La fórmula para calcular resulta .

Discute con tu equipo si es necesario efectuar todo el proceso de simplificación de la fórmula para finalmente sustituir h = 0.

e. Ahora dibuja tres rectas tangentes de la función en tres puntos de la curva.

 En el punto calcula la pendiente de la recta tangente, sustituyendo en Realizas operaciones :

 Dibujas una recta tangente con pendiente de que pasa por . (Véase la figura 2.23).

 En el punto calculas la pendiente de la tangente sustituyendo x0 = -1 en : .Realizas operaciones :

 Dibujas una recta tangente con pendiente de , que pase por (véase la figura2.23).

 En el punto calculas la pendiente de la recta tangente, sustituyendo x0 = 1 en : .Realizas operaciones

 Dibujas una recta tangente con pendiente de que pase por (Véase la figura 2.23).

 Las rectas tangentes quedan dibujadas como la indica la figura 2.23.

Figura 2.23 Gráfica de la función f(x) = con rectas tangentes en (-3,-1/2);(-1,-3/2) y (1,3/2)

Recomendación: Con el siguiente problema se concluye el estudio del Metido de Fermat. Anótalo en tu cuaderno. Si tienes dudas revisa el trabajo que has realizado en el subtema 2.4.2.

Actividades de aprendizaje

4 Trabajo final del Método de Fermat. Utilizando el Método de Fermat obtén en cada inciso la fórmula para determinar la pendiente de cualquier recta tangente a las siguientes curvas (compáralas con las respuestas). Una vez obtenida la fórmula, traza al menos tres rectas tangentes a la gráfica de la función en puntos que selecciones. Además, apoyándote en la gráfica de la función determina visualmente las coordenadas del punto más alto (y más bajo) y localízalo en la gráfica. Por último, colorea de rojo la parte de la gráfica en donde, si se dibujaran rectas tangentes, estas tendrían pendientes positivas y de azul donde las pendientes serían negativas.

[a] R.

[b] R.

[c] R.

[d] R.

[e] R.

[f] R.

[g] R.

[h] R.

[i] R.

[j] R.

[k] R.

Resumen

En este apartado estudiaste el Método de Fermat, utilizado en matemáticas para trazar rectas tangentes a cualquier gráfica de una función. En los apartados finales de esta unidad se resolverán problemas de trazo de tangentes y se discutirá el proceso para obtener el punto mas bajo y mas alto de la gráfica de una función. Este método es una herramienta poderosa que inicialmente sirvió para este propósito. Posteriormente se descubrió que era útil para resolver problemas diversos de la mas variadas áreas del conocimiento, como lo podrás observar en la unidad 3.

2.5

EL LÍMITE

Cuando con el Método de Fermat se quiere resolver el problema de trazar una o mas rectas tangentes conociendo el punto o los puntos de la gráfica de una función, siempre se tiene que encontrar un límite. Hasta este momento, has determinado los limites necesarios que el problema de trazo de tangentes ha exigido.

Este tema tiene dos propósitos: uno, que tengas ideas claras respecto de lo que es un límite; dos, que mejores tu habilidad para encontrar estas expresiones. Por esta razón, enseguida se te proporciona un trabajo que consiste en dos partes: la primera muestra problemas cuyo análisis y discusión los llevará a ti y a tus compañeros a mejorar la idea del límite (adquirida con el estudio de este texto); la segunda parte reforzará el trabajo realizado en los problemas anterior respecto de la determinación de límites.

2.5.1 La idea del limite

Recomendación: Anota en tu cuaderno cada una de las actividades de este apartado. Asegúrate de comprender lo que vas hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro.

Actividades de aprendizaje

1 Intento de llegar al punto B. Dado el segmento AB (véase la figura 2.24), te acercarás del punto A al punto B de la siguiente manera:

Figura 2.24 Dibujo del segmento AB.

[a] Darás un primer salto de A a C, donde C es el punto medio del segmento AB.

[b] Darás otro salto de C a D, donde D es el punto medio del segmento CB.

[c] Darás otro salto de D a E, donde E es el punto medio del segmento DB.

[d] Y así sucesivamente.

 ¿Cuántos saltos puedes dar en este problema?

 ¿Qué tanto puedes acercarte el punto B?

 ¿El proceso de este problema tiene fin?

 ¿Saltando de esta manera podrás llegar al punto B?

2 División de un cuadrado. Dado el cuadrado de lado 2 y de área 4 unidades cuadradas (véase la figura 2.25), realiza las siguientes actividades:

Figura 2.25 Cuadrado de lado 2 de 4

unidades cuadradas de área.

[a] Divide el cuadrado en cuatro cuadros iguales para obtener cuadrados de lado 1, cada uno de los cuales tiene área de 1 unidad cuadrada.

[b] Divide el cuadrado de lado 1 superior derecho en cuatro cuadrados iguales y obtén cuadrados de lado , cada uno de los cuales tiene una área de unidades cuadradas.

[c] Y así sucesivamente.

 ¿Cuántos cuadrados como los del proceso puedes dibujar?

 ¿Hacia que valor se acerca el área del cuadrado que vas dividiendo al continuar este proceso?

 Para algún número de divisiones ¿puedes llegar a ese valor?

 ¿Este proceso tiene fin?

3 Intento de alcanzar el área del círculo. Al círculo que se muestra en la figura 2.26 le inscribimos un cuadrado.

Figura 2.26 Círculo con

polígonos inscritos.

[a] En la figura 2.26 se observa que el área del cuadrado es menor que la del círculo.

[b] Ahora inscribe un octágono en la figura ¿Cómo es el área del octágono respecto al área del cuadrado? ¿Mayor o menor? ¿Y el área del octágono respecto del área del círculo?

[c] Enseguida dibuja un polígono de 16 lados. ¿Como es el área de este polígono respecto al área del octágono? ¿Cómo es el área de este polígono respecto de la del círculo?

[d] Después dibujas un polígono de 32 lados (no dibujada en la figura). ¿Cómo es el área de este polígono respecto al polígono de 16 lados? ¿Cómo es el área de este polígono respecto de la del círculo?

[e] Y así sucesivamente.

 ¿Cuántos polígonos como los del problema puedes inscribir?

 ¿Hacia que valor tiende el área del polígono inscrito?

 ¿Qué tanto puedes acercarte a ese valor?

 ¿Este proceso tiene fin?

4 Obtención de la recta tangente con la recta secante. Considerando la gráfica del problema 1 , 2 y 3 del apartado 2.4.1 de esta unidad, y las rectas secantes y tangentes que dibujaste en esta figura, contesta lo que sigue (si no tienes claro estos problemas, estúdialos antes de contestar).

[a] ¿Cuántas rectas secantes puedes dibujar por el punto fijo?

[b] ¿Hasta que valor tiende la pendiente de la recta secante?

[c] ¿Qué tanto puedes acercarte a ese valor?

[d] ¿Este proceso tiene fin?

Actividades de aprendizaje

Al valor al que tiende, se acerca o se aproxima cada uno de los problemas anteriores se le conoce como valor límite. Considerando el trabajo que realizaste en estos problemas, discute con tus compañeros de equipo.

1 Las características mas importantes que se observan en cad uno de los problemas anteriores.

2 De acuerdo con la respuesta anterior, contesta ¿Qué es un limite?

La idea de límite es muy antigua en la Humanidad y se le atribuye a Zenón de Elea, el primero en plantearla. Con la intención de que tengas conocimientos más preciso de los personajes y las épocas en las que se generaron estas ideas matemáticas que hemos trabajado hasta aquí, a continuación se te presenta una lectura que se refiere a este brillante matemático de la Grecia antigua, y precursor de las ideas que con el tiempo generaron el cálculo. Asimismo, encontrarás las ideas primarias del proceso al infinito, que son fundamentales para entender el cálculo.

Lectura complementaria: Zenón de Elea

Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo y con estas elabora un resúmen y coméntalo en el grupo.

Para poder apreciar el valor de la matemática actual, debemos entender algunas de las grandes aportaciones que han realizado brillantes matemáticos a lo largo de la historia. Así, resulta obligado revisar las contribuciones de algunos excepcionales griegos, como Zenón de Elea (495-435 a.C.),Eudoxio de Cnido (408-355 a.C.) y Arquímedes (287-212 a.C.), entre otros. En esta lectura se destaca la historia de Zenón.

Lo poco que se sabe de la vida de Zenón de Elea es que fue amigo y discípulo de Parménides, quien fundó la escuela filosófica eleática, que se basaba en el principio: “todo es uno”. Zenón estuvo muy influido por los argumentos de Parménides.

Zenón de Elea sostenía que “que el universo entero es una única unidad”. Según él, no puede existir el espacio formado por elementos discontinuos. Inventó la demostración llamada ad absurdum (del absurdo), que tomaba por hipótesis las afirmaciones del adversario y por medio de hábiles deducciones lo conducía a aceptar la tesis contradictoria.

Zenón a pasado a la historia por sus paradojas, las cuales se basan en las dificultades derivadas del análisis de las magnitudes continuas. Zenón también supone que si algo no tiene magnitud no puede existir.

La primera paradoja de Zenón es la de la dicotomía. En ella se niega el movimiento: No hay movimiento porque para que algo recorra un espacio debe primero llegar a la mitad (1/2), después a los ¾, luego a los 7/8, posteriormente a los 15/16, después a los 31/32 y así indefinidamente. Según esta paradoja, nunca alcanzaríamos el final. Si razonamos de esta otra forma: para llegar al final debemos llegar a la mitad, pero para llegar a la mitad debemos llegar a la mitad de la mitad, pero antes debemos llegar a la mitad de la mitad de la mitad, y antes, a la mitad de la mitad de la mitad; y así indefinidamente.

La paradoja más famosa es, sin duda, la de Aquiles y la tortuga: Aquiles, héroe griego, y una tortuga, participan en una carrera. La tortuga parte con ventaja. ¿Adelantará Aquiles a la tortuga? Zenón argumenta así: en el momento inicial Aquiles estará en la posición A y la tortuga en la posición B delante de A. Cuando Aquiles llegue al punto B, la tortuga estará en el punto C delante de B y cuando Aquiles este en el punto C la tortuga estará en el punto D delante de C y así sucesivamente. Aunque la distancia entre Aquiles y la tortuga disminuye continuamente, la tortuga siempre estará por delante. Evidentemente hay un error en el razonamiento. Pero ¿Dónde esta? Las paradojas de Zenón influyeron negativamente en el desarrollo de concepto de infinitesimales, pero son los primeros antecedentes del razonamiento infinitesimal. Es necesario dejar constancia que los sofismas de Zenón constituyen la huella mas vieja que se conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos después. El cálculo diferencial nace con Leibniz en el año 1666. Por lo tanto, podría decirse y considerarse a este eleata como un precursor del cálculo infinitesimal, pero en ningún caso se puede decir que el dominaba este pensamiento.

La idea de límite que discutimos en la lectura y problemas anteriores se pueden trasladar al contexto de una función. Para concluir esta parte te presentamos una definición informal de límite de una función que se muestra actualmente en los libros de cálculo.

Definición: Sea f una función definida en algún intervalo que contiene al número a, sin importar si f esta definida en a o no lo esta. Sea L un número real para el cual lo que sigue es cierto.

A medida que x se aproxima a a, eventualmente se consigue que los valores de f(x) estén arbitrariamente cerca del número L. Entonces se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a a. Esta frase se expresa como sigue:

Lo anterior se puede representar en la figura

Figura 2.28 Gráfica que ilustra la definición informal del límite de una función..

2.28

2.5.2 Determinación de límite

A continuación te presentamos el calculo de algunos limites para que los comentes con tu equipo. La intención es complementar el trabajo de determinación de limites que has realizado hasta aquí.

Actividades de aprendizaje

1 Determinación de limites.

Encuentra el siguiente limite:

Nota que si sustituyes h=0 para obtener el valor del limite el resultado es: , valor que matemáticamente no esta definido, por lo que este no puede ser solución de limite.

Entonces es necesario iniciar el proceso de determinación del límite propiamente dicho. Resuelve las operaciones indicadas en el numerador y obtienes:

Sumas términos semejantes:

Divides la expresión, ya que :

Cuando h tiende abiertamente a cero, 5h también se aproxima a cero, por lo que el limite es -10x0

Solución del límite

Determinación del limite:

Si sustituyes el valor de x=5 para obtener el valor de limite obtienes , valor indefinido matemáticamente, por lo que es necesario realizar operaciones algebraicas en la expresión .

Para dividir, factoriza el denominador:

Divides y obtienes:

Sustituye x=5: De donde el resultado es Es decir:

Solución del

Para que puedas observar que sucede en este problema, traza la grafica de la función y ¿Cuál es la diferencia entre ellas? Toma los valores de x que se valla acercando a 5 y observa a que valor tiende ambas funciones.

Encuentra el

Aquí no se puede realizar operaciones algebraicas en la expresión para determinar el limite. Pero existen otras formas de encontrar un limite en este caso se puede recurrir a un análisis grafico o numérico de . Este limite lo determinamos utilizando calculo numérico: toma valores de x cada vez mas grande que tiendan a infinito , observa hacia que valor se aproxima y escribe la respuesta de .

Encuentra el limite:

Cuando las expresiones del numerador y el denominador se hacen inmensamente grandes, ambos valores no los puedes determinar, esto te llevara a una división entre dos cantidades indeterminadas que te darán como resultado un valor indefinido matemáticamente. Una estrategia aquí es dividir la expresión algebraica . En ocasiones este proceso resulta complicado, por lo que puedes sustituirlo por el criterio siguiente que arroja resultados equivalentes: Cuando tengas un limite que tienda a , con una expresión como la de este problema, puedes evitar realizar el cociente de la expresión dividiendo cada termino de esta entre la varíala de mayor exponentes este caso la variable de mayor exponente es x2. por lo que siguiendo este criterio:

Divide cada termino del limite entre x2:

En todos los términos de tipo realiza los siguientes cálculos numéricos: haz lo que el valor de x sea de 1000 000, 10 000 000, 100 000 000. ¿Hacia que valor tiende la expresión a medida que x aumenta de valor? Del trabajo en el párrafo anterior observaste que x tiende a infinito las expresiones se aproximan cada vez mas a cero. De donde se obtiene que el limite es

Entonces la solución es:

Recomendación: Para que revises si lo anterior esta claro, con tu equipo resuelve el problema siguiente. Anótalo en tu cuaderno. Si existen dudas al respecto consulta con tu profesor.

Resolución de límites. Hallar la solución de los limites siguientes:

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]

[j]

[k]

[l]

[m]

[n]

[o]

[p]

[q]

[r]

[s]

[t]

[u]

[v]

[w]

[x]

[y]

[z]

[aa]

[bb]

[cc]

[dd]

RESUMEN

Esperamos que con el trabajo realizado en este apartado hayas comprendido lo que es y como se determina un limite, ya que este concepto es fundamental para estudiar el calculo.

En el apartado siguiente se culmina el trabajo de esta unidad. Se revisaran algunos resultados obtenidos a lo largo de estos temas para arribar a seis reglas o formulas que utilizaras para calcular la pendiente de la recta tangente. Con estas finalmente, resolverás el problema de trazar rectas tangentes a una curva y de localizar su punto mas alto (y mas bajo). Aquí estudiaras la derivada, concepto fundamental (al igual que el limite y la funciona) para llegar a comprender el calculo. La derivada es una poderosa herramienta para resolver diversos problemas de la ciencia y la tecnología como algunos de los que se te plantearan en la siguiente unidad.

2.6

LA DERIVADA

De acuerdo con los resultados que obtuviste en los problemas anteriores: Si entonces en cualquier punto fijo la formula que calcula la pendiente de la recta tangente es: mtg=2x0 y si entonces .

La formula que calcula la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto fijo , mtg se llama la derivada de la función y se denota como por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

Además como x0 es cualquier abscisa, es decir, puede tomar cualquier valor permitido, le llamaremos de aquí en adelante simplemente x. De lo anterior haciendo x=x0, tenemos que:

Si entonces

Si entonces

Es importante que la derivada de una función presenta una dualidad: cuando hablamos de la formula que calcula la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva es una función (una formula) y cuando se determina el valor de la pendiente de la recta tangente en un punto dado es un numero.

Utilizando f’(x), escribirás la derivada de una función de aquí en adelante.

La interpretación geométrica de la derivada de una función

La derivada de una función se representa geométricamente (como lo hicimos a lo largo de esta unidad) de la siguiente manera:

Sea la recta secante PQ que pasa por el punto fijo el punto móvil , (véase la figura2.29).

Como ya lo observaste a lo largo de esta unidad, si el punto móvil Q se acerca sobre la curva cada vez mas al punto fijo P, la recta secante se parece cada vez más a la recta tangente en P. Cuando esto sucede, el valor de h se acerca cada vez más a cero ( . Entonces la derivada de la función (mtg) es el valor que se aproxima a ms cuando el valor de h se acerca a cero. Este valor se denomina límite de ms cuando h tiende a cero y se escribe de la siguiente manera:

Pero como entonces la derivada es:

Actividades de aprendizaje

Para mejorar la idea que has trabajado a lo largo de este texto acerca de una recta tangente, considera lo realizado hasta aquí y con tu equipo intenten definir que es una recta tangente.

Primeras seis formulas para obtener la derivada de una función

En los problemas siguientes se hará una revisión de los resultados de la formula para calcular la pendiente de la recta tangente (derivada de la función) que se obtuvieron en los problemas anteriores con el Método de Fermat. El propósito es poder hallar algunas reglas que no permitan determinar la derivada de una función de manera más eficiente, sin tener que encontrar el límite correspondiente cada vez que se quiere encontrar una derivada.

En los problemas del apartado 2.4.2 obtuviste una formula para calcular las pendientes de las rectas tangentes (la derivada de la función) a cada una de las siguientes funciones:

Actividades de aprendizaje

Considerando los resultados anteriores, ¿puedes predecir la formula para las pendientes de las rectas tangentes para las siguientes funciones (derivada de la función)?

¿Puedes predecir la formula para calcular la pendiente de las rectas tangentes (la derivada) de las funciones donde n es un numero natural?

En los problemas del apartado 2.3.2 también obtuviste:

Considerando los resultados anteriores, ¿puedes predecir la derivada para las funciones que se te dan a continuación?

¿Cuál será la formula para calcular la pendiente de cualquier recta tangente (la derivada) a la grafica de las funciones y n ?

En el mencionado apartado 2.4.2 encontraste que la formula para calcular las pendientes de las rectas tangentes a cada de las curvas (la derivad de la función) es:

Considerando los resultados anteriores ¿puedes predecir la formula para las pendientes de las rectas tangentes para las siguientes funciones (la derivada)?

¿Cuál es la formula de la pendiente e la recta tangente (la derivada de las funciones , donde n es un número natural)?

En los problemas del multicitado apartado 2.4.2 también obtuviste:

Considerando los resultados anteriores, ¿puedes predecir la derivada para las funciones que se te dan a continuación?

¿Cuál será la formula para calcular la pendiente de cualquier recta tangente a la grafica de las funciones (la derivada) y n ?

En los apartados 2.4.2 encontraste que la formula para calcular las pendientes de las rectas tangentes a cada una de las funciones siguientes es:

Considerando los resultados anteriores ¿puedes predecir la formula para las pendientes de las rectas tangentes para las siguientes funciones (la derivada)?

¿Cuál será la formula para calcular la derivada de las funciones donde n es un número natural?

Considera el trabajo realizado en este apartado y contesta ¿Cuál es la formula para calcular la pendiente de cualquier recta tangente a la grafica de las funciones (la derivada) y n ?

En los problemas del apartado 2.4.2 encontraste que la formula para calcular las pendientes de las rectas tangentes a cada una de las curvas (la derivada de la función) es:

Considerando los resultados anterior ¿puedes predecir para las siguientes funciones la formula para las pendientes de las rectas tangentes (derivada de la función)?

¿Cuál será la formula para determinar las pendientes de las rectas tangentes a la grafica de las funciones (la derivada) donde u(x) y v(x)son funciones?

Comentarios del trabajo realizado

A continuación se enlistan las formulas que obtuviste con el trabajo que realizaste en los problemas anteriores:

Regla 1. Si y n , entonces

Regla 2. Si y n , entonces

Regla 3. Si y n , entonces

Regla 4. Si (Suma de funciones). Si entonces Esta regla se extiende a los casos en que f(x) sea la suma de mas de dos funciones. A estas reglas agregaremos las siguientes:

Regla 5. Si entonces .

Regla 6. (Producto de dos funciones). Si entonces

Para concluir este apartado se te presentan tres problemas donde podrás observar como se utilizan las seis reglas anteriores a fin de obtener la derivada DE UNA FUNCION. Con tu equipo léelos y discútelos si tienen dudas plantéaselas a su profesor.

Actividades de aprendizaje

Aplicación del formulario para obtener la derivada. Utilizando las seis reglas anteriores, hallar la derivada de la función .

Como utilizaste una de las reglas para obtener la derivada o formula para calcular la pendiente de las rectas tangentes, necesitas determinar que regla usaras. Si observas cada una de estas, te darás cuanta de que la que requieres es la regla 2:

Si y n , entonces

Para determinar la derivada con la regla 2 necesitas obtener el valor de C y n sustituirlos en la formula y llevara cabo las operaciones indicadas.

Para obtener estos valores necesitamos que nuestra función tenga el mismo formato que la función de la regla 2. Entonces, recibiendo nuestra función en el mismo formato que la función de la regla 2 queda . De aquí determinamos que C = 3 y n=5.

Sustituyendo estos valores en la formula de la derivada de la regla 2:

Realizas las operaciones y el resultado es

Conclusión: la derivada de la función es

Derivación de una función con el formulario. Utilizando las seis reglas anteriores, hallar la derivada de la función .

Como el problema anterior, primero necesitas determinar la regla que utilizaras para obtener la derivada. Si observas las seis formulas te darás cuenta de que es conveniente aplicar la regla 4(suma de funciones);

Si entonces

Para determinar la derivada con la regla 4 necesitas obtener las derivadas de las funciones y sumarlas como lo indica esta regla .Determina primero la derivada de la función u(x). La función u(x)= y la derivas con la regla 3:

Si y n , entonces

Como u(x)= de aquí obtienes que C=8 y n=4. Sustituyes estos valore en la formula de la derivada de la regla 4:

. Realizas las operaciones:

Para determinar la derivada de la función v(x)= utiliza el proceso descrito en el primer ejemplo de este apartado; si consideras necesario vuélvelo a leer:

Como v(x)= entonces C=7 y n=9 Sustituyendo estos valores en la formula de la derivada de la regla 2: Realiza las operaciones:

.

Finalmente, la derivada de la función la obtienes sumando y

Entonces: +

Aplicación del formulario para derivar. Utilizando las seis reglas anteriores hallar la derivada de la función . Como la función es una suma de funciones utiliza la regla 4 para obtener la derivada :

Si entonces

La regla 4 te indica que para obtener la derivada de la función necesitas derivar u(x), v(x), w(x), y sumarlas.Determina primero la derivada de la función u(x). En este caso la función u(x)=6x5 se deriva con la regla 1:

Si y n , entonces

Como u(x)=6x5, de aquí determinas que C=6 y n=5. Sustituyendo estos valores en la formula de la derivada de la regla 1:

Realiza las operaciones:

Ahora deriva la función con el proceso anterior. Como de aquí obtienes que C=-4 y n=3. Sustituyendo estos valores en la formula de la derivada de la regla 1:

Realiza las operaciones:

Ahora deriva w(x)=8 con la regla 5: Si entonces .por lo que

Finalmente siguiendo la regla 4 para la suma de funciones, la derivada de la función la determinas sumando entonces

Conclusión: La derivada de la función es

Para que pongas en práctica los algoritmos presentados en los ejemplos anteriores, a continuación se te proponen funciones para que determines su derivada.

Actividades de aprendizaje

Derivación de funciones. Utilizando las seis reglas encuentra la derivada de las siguientes funciones (la formula para calcular mtg):

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k)

l) m)

n) ñ)

o) p)

q) r)

s)

RESUMEN

Con el trabajo realizado en este subtema se concluye el estudio de la derivada obteniendo seis reglas o formulas que te permiten determinar la derivada de una función de una manera mas directa qué el Método de Fermat. En el próximo apartado aplicaras la derivada para trazar una mas rectas tangentes a la grafica de una función y localizar el punto mas alto (y mas bajo) de una curva. Este método lo aplicaras posteriormente en la unidad 3 para resolver algunos problemas de aplicación de diversas ramas del conocimiento.

Uso de la derivada para dibujar rectas tangentes y localizar el punto mas alto o mas bajo de la grafica de una función

Como se menciono en la recapitulación de la Unidad 1 y en la introducción de esta unidad, para poder resolver los problemas de máximos y mínimos necesitas conocer un método que te permita saber con exactitud las coordenadas del punto mas alto o mas bajo de la grafica del problema punto donde la recta tangente es la horizontal (recta pendiente cero). Con el trabajo realizado hasta aquí ya puedes localizar estos puntos. ¡Veamos como se hace.

Recomendaciones: Anota el problema. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten a su maestro.

Actividades de aprendizaje

Dibujo de rectas tangentes y localización del punto mas alto (y mas bajo) de la grafica de una función. Dada la función realiza lo siguiente;

Traza las rectas tangentes a la grafica de la función en los puntos cuyas abscisas son: y x=1.

Localiza el punto mas alto (y mas bajo) de la grafica (puntos donde le recta tangente tiene pendiente cero). Ya localizado el punto o los puntos dibújala(s) recta(s) tangente(s).

Trazamos la recta tangente a la grafica de la función en los puntos cuyas ábsisas son: y x=1.

Como ya lo sabes primero realizas el trabajo necesario con tu equipo para comprender el problema.comprendido el problema:

Elabora la grafica de la función de este problema.

Para dibujar una recta tangente a la grafica de la función debes conocer por que punto de la curva pasa y cual es su pendiente. Con la información que se te proporciona del problema, determina los tres puntos de la curva donde se traza las rectas tangentes.

Las pendientes las determinaremos de la siguiente manera. Primero necesitas la formula para calcular la pendiente de una recta tangente o la derivada de la función.

Del trabajo realizado en esta unidad recordaras que esta formula se obtiene de dos maneras: utilizando el Método de Fermat o con las seis reglas. Por sencillas en este caso utiliza las reglas que sean necesarias. Como la función es una suma de funciones utiliza la regla 4 para obtener la derivada:

Si entonces

La regla 4 te indica que para obtener la derivada de la función necesitas derivar y sumarlas

Determina la derivada de la función u(x). En este caso la función u(x)=x3, utiliza la regla 1 y obtienes realiza la operación: Ahora deriva la función v(x)=2x2 utilizando el proceso anterior; de donde se obtiene:

Ahora deriva w(x)=-1 con la regla 5. Aquí obtienes que w’(x)=0. Finalmente siguiendo la regla 4 obtienes:

Con la derivada de la función calcula la pendiente de cada una de las rectas tangentes que dibujaras en este problema:

Calculo de la pendiente de la recta tangente en el punto de la curva (-2,-1).

En sustituye x=-2; entonces:

Realiza las operaciones:

Calculo de la pendiente de la recta tangente en el punto de la curva en sustituye entonces Realiza las operaciones:

Calculo de la pendiente de la recta tangente el punto de la curva (1,2). En sustituye x=1, entonces Realiza las operaciones:

En la grafica del problema, con las pendientes de las rectas tangentes calculadas, dibújalas.

Ahora resolvemos: localizar el punto mas alto (y mas bajo) de la grafica (estos son puntos donde la recta tangente tiene pendiente cero). Ya localizando el punto dibuja la (s) recta (s) tangente (s).

Para localizar el punto o los puntos de la grafica donde la recta tangente tiene pendiente cero, revisa el trabajo que has realizado hasta aquí en los incisos a, b y c:

Ya obtuviste la derivada de la función (formula que calcula la pendiente de la recta tangente), la utilizaste para calcular la pendiente de la recta tangente en un punto dado y finalmente la dibujaste.

Ahora conoces el valor que tiene la pendiente de la recta tangente en cualquier punto pero desconoces el punto de la grafica donde esta pendiente vale cero, ¿Cómo localizaras este punto?

Esta pregunta la contestaras de la siguiente manera: en la derivada de la función (que ya la tienen) , iguales este valor a cero, es decir, hacia mtg=0, y obtienes la siguiente ecuación:

Resuelve esta ecuación para obtener la abscisa del punto de la grafica donde la recta tangente tiene pendiente cero: Recuerda que si la ecuación es: los valores de x1 y x2 se determinan con la formula general de la ecuación mtg=0 tienes que a=3, b=4 y c=0. sustituye estos valores en la formula general:

Realiza las operaciones:

De aquí obtienes que:

Notas que obtuviste dos valores para la x, esto indica que en la grafica de este problema hay dos puntos donde la recta tangente tiene pendiente cero.

Localizando los dos valores de x anteriores (x1 y x2), determina las ordenadas de cada uno de estos puntos:

Calcula la ordenada del primer punto (x=x1=0):

Sustituye x=0 en la función

Las coordenadas del primer punto donde la recta tangente tiene pendiente cero son: (0,-1).

Localiza el punto (0,-1) de la grafica donde la recta tangente tiene pendiente cero. Dibuja la recta tangente. Con base en tus conocimientos previos, ¿este punto es máximo o un mínimo?

Determina la ordenada del segundo punto (x=x2=

Sustituye x= en la función

Las coordenadas del segundo punto donde la recta tangente tiene pendiente cero son:

Localiza el punto de la grafica donde la recta tangente tiene pendiente cero. Dibuja la recta tangente. De acuerdo con tus conocimientos previos, ¿este punto es un máximo o un mínimo?

Recomendaciones: Con tu equipo lee y comenta la resolución del problema anterior Utilizando estas ideas resuelve las actividades que se te plantean a continuación.

Actividades de aprendizaje

Dibujo de rectas tangentes utilizando la derivada. En cada uno de los siguientes incisos se te proporcionan una función dibújala en papel milimétrico (puedes utilizar la computadora); encuentra la formula para determinar pendiente la recta tangente en los puntos fijos cuyas absisas se dan y dibújalas. Colorea de rojo la parte de la grafica donde si se dibujan rectas tangentes tienen pendiente positiva y de azul donde tienen pendiente negativas:

en x=-2 y en x=

en x=-1 y en x=3

en x=1

en x=5

en x=20

en x=-1 y en x=1

3 Localización del punto mas alto (y mas bajo) con la derivada. En cada uno de los siguientes incisos se te proporciona una función dibújala en papel milimétrico (puedes emplear la computadora). Utilizando la derivada de la función determina el punto o los puntos donde la recta tangente es horizontal (tiene pendiente cero) Una vez localizados dichos puntos traza las rectas tangentes. Colorea de rojo la parte de la grafica donde si se dibujan rectas tangentes tienen pendiente positiva y de azul donde tienen pendiente negativas:

Comentarios del trabajo relazado hasta aquí

Te hemos dado elemento para que entiendas en que consiste la herramienta matemática conocida como derivada, la cual utilizaste es los problemas anteriores para dibujar rectas tangentes a la grafica de una función en uno o mas puntos.

En los problemas anteriores estudiaste también como se localiza el punto más alto o mas bajo de la grafica de una función. Este problema es conocido en matemáticas como el de encontrar los valores extremos de una función. La herramienta matemática que aplicaste para localizarlos es la derivada.

Hasta aquí has observado que si el punto es el mas alto o el mas bajo de la grafica de la función entonces el valor de la pendiente de la recta tangente (derivada de la función) en este punto es cero:

Los números que satisfacen la ecuación f’(x)=0 se llaman números o puntos críticos de la función. Con estos números críticos encontramos los valores extremos sustituyéndolos en la función. En otras palabras esperamos que si entonces f(a) debe ser un valor extremo de la función ya sea un valor máximo o un valor mínimo.

Desafortunadamente lo anterior no siempre se cumple; el tema de los valores extremos no puede quedar resuelto de manera tan simple. Como se pudo apreciar ene. Inciso e del problema 3 de este apartado al determinar los valores de las coordenadas del punto donde f’(x)=0, la función no tiene su valor máximo o mínimo ahí.

Es cierto que los valores máximos y mínimos de muchas funciones no lo son respecto a toda la grafica, pero si lo son si nos restringimos a una pequeña porción de ella; cuando hacemos esto los valores máximos y mínimos se llaman valores extremos locales o relativos. Entonces, según el tiempo de grafica de la función tendremos valores extremos absolutos o valores extremos relativos o locales.

En el trabajo anterior también observaste que una curva tiene una parte de la grafica donde hay rectas tangentes de pendiente positiva y otra en la que las rectas tangentes tienen pendiente negativa. En la parte donde las rectas tangentes tienen pendientes positivas, es decir, donde f’(x)>0, se dice que la grafica de la función es creciente. En la parte donde dichas rectas tienen pendientes negativas, es decir donde f’(x)<0, se dice que la función es decreciente.

El criterio de la primera derivada

Las ideas matemáticas que utilizaste en la localización de los valores máximos o mínimos de la grafica de una función sean estos máximos o mínimos absolutos o relativos, se establecen formalmente, en matemáticas, con el criterio de la primera derivada.

Se considera que f(x) tiene un máximo en x=C si cumple con la siguiente condición:

Que f’(C)=0.

Que f’(C) para valores poco menores que C sea positiva [f’(x)>0]; es decir que para dichos valores f(x) sea creciente.

Que f’(C) para valores poco mayores que C sea negativa [f’(x)<0];es decir, que para dichos valores f(x) sea decreciente (grafica 2.29)

Se considera que f(x). Se considera que f(x) tiene un mínimo en x=C si cumple con las siguientes condiciones:

1. Que f’(C)=0

2. Que f’(C) para valores poco menores que C sea positiva [f’(x)>0]; es decir que para dichos valores f(x) sea creciente.

3. Que f’(C) para valores poco mayores que C sea negativa [f’(x) <0]; es decir, que para dichos valores f(x) sea decreciente (grafica 2.30).

RESUMEN

Con el trabajo que relazaste en este tema termina el estudio de la derivada concluyendo en seis reglas o formulas que te permiten obtener la derivada de una función de una manera más directa que el Método de Fermat. Aplicaste esta herramienta matemática para trazar una o mas rectas tangentes a la grafica de una función y para localizar el punto más alto y mas bajo de la curva. En la siguiente unidad se aplicara la derivada para resolver los problemas de máximos y mínimos de lña unidad 1 y estudiar el comportamiento grafico de una función.

Recapitulación unidad 2

En esta unidad estudiaste los tres conceptos que sirven de fundamento al Calculo Diferencial: función (su estudio se inicio en la unidad 1), limite y derivada. Esperamos que esta propuesta didáctica te haya servido para tener un mejor acercamiento a la matemática en general y a estos tres conceptos en particular.

Con el objetivo de ofrecerte mejores opciones de estudio de estos conceptos, se utilizo un contexto numérico geométrico para que comprendieras que es un límite y una derivada. Ambos conceptos están estrechamente relacionados; por ese motivo, se te presentaron problemas desde el apartado 2.4 de esta unidad donde te fuiste introduciendo poco a poco a su significado geométrico.

Su estudio requirió que aplicaras conocimientos previos de aritmética: operaciones básicas, algebra: operaciones básicas y simplificaciones algebraicas, geométricas: la recta y la grafica de funciones.

Esta unidad culmina con la derivada de una función, herramienta matemática que se origino para resolver, entre otros, problemas de trazo de tangentes como los que resolviste en la unidad 2. Pero la derivada mostró que es una herramienta muy poderosa que puede resolver problemas de distintos campos de la ciencia y la tecnología.

En la siguiente unidad aplicaras la derivada para resolver los problemas de máximos y mínimos de la unidad 1, que fueron seleccionados de diversos campos del conocimiento, lo más apagado al entorno en donde te desenvuelves y determinar el comportamiento grafico de una función.

Para finalizar este apartado, se te muestra un esquema que recoge lo más importante que estudiaste en esta unidad.

Actividades de confirmación de conocimientos

Para revisar si comprendiste lo trabajado en esta unidad realiza lo que se te pide en cada uno de los problemas siguientes.

1 Dibujo de rectas tangentes. En cada uno de los incisos siguientes se te proporciona una función y tres puntos de la curva. Halla su derivada con el Método de Fermat y utilizando las seis reglas para derivar (compara tus resultados con las respuestas que se te dan mas adelante). Con la derivada calcula la pendiente de la recta tangente a la grafica de la función en los puntos dados y dibújala.

(-3,19) (0,4) (2,24)

(-2,-8) (-1,-13) (1,1)

(-10,-49.98) (1,7) (10,50.02)

(-1,1) (0,3) (1,5)

Localización del punto mas alto (y mas bajo) de una curva. Para las funciones del problema anterior, dibuja su grafica en papel milimétrico o cuadriculado (puedes utilizar la computadora). Utilizando la derivada de la función, determina el punto o los puntos donde la recta tangente tiene pendiente cero; una vez localizados dichos puntos, traza la recta tangente.

Auto evaluación

Para ofrecerte una oportunidad de retroalimentación, compara tus resultados de los problemas que resolviste en las actividades de confirmación de conocimientos con los que se te presentan a continuación y detecta los aspectos que aun te hacen falta por comprender. Si este es el caso, regresa al texto y revisa los temas en los que tienes dificultades; una vez hecho esto, intenta resolver los problemas de nuevo.

Para la resolución correcta de estos problemas debiste hacer lo siguiente:

1. Una lectura del enunciado del problema para:

Comprender el problema.

Ubicar lo que el problema te pide hallar o hacer.

2. Elaborar la grafica de la función.

Determinar la derivada utilizando el Método de Fermat (para el problema 1)

Hallar la derivada con las seis reglas para derivar.

Con la derivada, determinar la pendiente de la recta tangente en el punto dado y dibujar la recta tangente (esto para el problema 1).

Con la derivada localizar el punto o los puntos de la curva que tienen una recta tangente de pendiente cero. Localizando el punto, dibujar la recta tangente (esto para el problema 2).

Solución de los problemas

1 a. La derivada de la función es: f’(x)=6x2+10x-8. La pendiente de la recta tangente en el punto (-3,19) es mtg=16; en (0,4) es mtg=-8 y en (2,24) es mtg=36.

Localiza el punto indicado en la grafica de la función y con la pendiente de la recta tangente dibújala correctamente.

b.

La derivada de la función es:

La pendiente de la recta tangente en el punto (-2,-8) es mtg=-9; en (-1,-13) es mtg=-1 y en (1,1) es mtg=15

Localiza el punto indicado en la grafica de la función y con la pendiente de la recta tangente dibújala correctamente.

C.

La derivada de la función es:

La pendiente de la recta tangente en el punto (-10,-49.98) es mtg=5.004; en (1,7) es mtg=1 y en (10,50.02) es mtg=4.9966.

Localiza el punto indicado en la grafica de la función y con la pendiente de la recta tangente dibújala correctamente.

d.

La derivad de la función es:

La pendiente de la recta tangente en el punto (-1,1) es mtg= es (0,3) mtg no esta definida y en (1,5) es mtg=

Localiza el punto indicado en la grafica de la función y con la pendiente de la recta tangente dibújala correctamente.

2 a.

Los puntos de la curva donde mtg=0 son (0.5906…, 1.43212…) y (-2.2573…,24.5317…)

Localiza los puntos indicados en la grafica de la función y dibuja la recta tangente de pendiente cero.

b.

El punto de la curva donde mtg=0 es localízalo en la grafica y dibuja la recta tangente de pendiente cero.

c.

El punto de la curva donde mtg=0 es Localízalo en la grafica dibuja la recta tangente de pendiente cero.

d.

La curva no tiene puntos donde mtg=0

Esperamos que hayas tenido éxito con el trabajo realizado hasta aquí si es así felicidades te invitamos a seguir trabajando con mas ahínco. Recuerda: el trabajo con tu equipo es fundamental

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