La derivada de una función

En resumen: ®

¤ “La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, partido todo por el cuadrado del denominador”

Ejemplos:

a) Sea , cociente de la función logaritmo neperiano y la función exponencial natural .

Su derivada será:

b) Sea . Esta función ya la hemos derivado en el ejemplo g) del apartado de la función exponencial natural, y allí se advirtió que también se podía derivar como cociente de dos funciones, aunque no lo hicimos entonces por no haber dado todavía la regla para la derivada de un cociente. Además de que también advertimos entonces que el camino allí elegido posiblemente resulte en general más fácil para el alumno.

Vamos, pues, ahora a derivar dicha función como cociente de dos funciones: cociente de la función constante y la función exponencial compuesta . Tendremos:

Al alumno le corresponde ahora comparar los dos procesos seguidos, sacando sus propias conclusiones respecto a la mayor o menor “facilidad” de cada uno de ellos, y tomando la decisión de derivar en lo sucesivo funciones de este tipo por el camino que considere más sencillo.

c) Sea . Si en el ejemplo anterior hemos dejado al libre criterio del alumno elegir uno de los dos caminos posibles, ante un caso como éste hemos de comentar que, si bien se podría derivar como cociente de funciones: la función exponencial compuesta y la función constante , actuando entonces en la forma

,

consideramos que el alumno no debe “complicar” inútilmente el ejercicio, ya que, si nos fijamos desde el principio, podemos observar claramente que la función dada se puede expresar inmediatamente como producto de una constante por una función, con lo que su derivación se hace, sin duda, mucho más fácil.

Queremos decir que , y, por tanto, ahora con lo que el proceso ha resultado mucho más fácil.

Téngase, pues, en cuenta este “consejo” siempre que se nos presente para derivar un cociente en el que el denominador sea una constante. Y dada la importancia del caso, permítasenos insistir con un par más de

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