Derivadas De Funciones Trascendentes

UNIDAD 1. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

Propósitos: Reforzar y extender el conocimiento de la derivada a través del estudio de la variación de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales para cubrir situaciones que se modelan con funciones trascendentes. Retomar las relaciones entre las gráficas de una función y su derivada.

Sección 1. Derivadas de funciones trigonométricas

Los aprendizajes que debes obtener al terminar de estudiar esta sección son:

• Analizar las gráficas de las funciones seno y coseno y a partir de ellas, bosquejar la gráfica de su respectiva derivada.

• Identificar en cada caso la derivada respectiva de las funciones seno y coseno.

• Reconocer que las derivadas de las funciones trigonométricas también involucran variación periódica.

• Utilizar las derivadas de las funciones seno y coseno, y reglas de derivación para obtener las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante.

• Utilizar la regla de la cadena para derivar funciones trigonométricas cuyo argumento es función de x.

Derivada de la función seno.

A continuación te mostramos las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x).

Dibuja la derivada de cada una de ellas y gráficamente comprueba que:

a) Si f(x) = senx, entonces f’(x) = cosx b) Si f(x) = cosx, entonces f’(x) = -senx

También para obtener la derivada de la función f(x) = sen x, se puede utilizar la definición de derivada, como sigue: h)x(f)hx(flim)x´(f0h−+=→

Para hacerlo, además de usar la identidad trigonométrica:

1

sen(x+y) = senx cosy + seny cosx

se necesita que recuerdes los siguientes límites, para lo cual te solicitamos completes las tablas correspondientes y, con ello, compruebes los resultados indicados:

x →0senlimxxx →01-coslimxxx

→0limsenxx

→0limcosxx

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

0.0000001

0

1

0

0

1

Teniendo lo anterior, a continuación encontraremos la derivada de la función sen(x). Sigue cada uno de los pasos: h0h0sen(xh)senxsenxcoshsenhcosxsenxf'(x)limlimhh→→+−+−==

factorizando – senx, del primero y tercer términos obtenemos: h0senx(cosh1)senhcosxf'(x)limh→−−++=

luego, h0h0senx(1cosh)senhcosxf'(x)limlimhh→→−−=+ →→−=−+=h0h01coshsenhf'(x)senxlimcosxlimcosxhh

Resumiendo: xcosdx)x(send=

De lo anterior y por la regla de la cadena, podemos concluir que si u es una función diferenciable1, entonces: dsenuducosudxdx=

1 Una función es diferenciable en un intervalo dado abierto si f’(x) existe para toda x en ese intervalo. 2

Ahora estamos en condiciones de derivar funciones que contengan a la función seno.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de g(x) = –5sen (–2x).

Solución. d(5sen(2x))dsen(2x)d(2x)55cos(2x)10cos(2x)dxdxdx−−−−=−=−−=−.

Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = sen 2x, cuando 2xπ=.

Solución. Para determinar la ecuación de la recta tangente, necesitamos su pendiente y el punto de tangencia. Su pendiente la encontraremos al calcular: f´()2π, lo cual haremos a continuación: dsen(2x)d(2x)f'(x)cos(2x)2cos(2x)dxdx====2cos2x

Habiendo encontrado la fórmula2 (f’(x) =2cos2x) podemos determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = sen2x en cada punto de su gráfica, pasamos a encontrar en particular la pendiente de la recta tangente en el punto (,f())22ππ

f´()2π = 2cos (22π) = 2cosπ =2(–1) = –2

La ordenada, f(2π), del punto de tangencia es igual a:

f(2π) = sen(2)sen02π=π=.

Así pues, la ecuación

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