Derivada TASA DE VARIACIÓN MEDIA

TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Δy = [f(a+h) − f(a)]Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es: Interpretación geométrica La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h. ya que en el triángulo PQR resulta que:

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 CONCEPTO DE DERIVADA EN UN PUNTO: La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de la TVM cuando el incremento de la variable tiende a cero.Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 Por lo dicho anteriormente y por la interpretación geométrica de la TVM se puede definir la derivada de una función f(x) en un punto x0 -f’(x0) - como la pendiente de la tangente a la gráfica de esa función en el punto (x0, f(x0)).mt = f'(x0)Ejemplo 1: Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m= 1. Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: f'(a) = 1. FUNCIÓN DERIVADA.La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x). Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1) f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3 f'(0) = 2(0) − 1 = −1 f'(1) = 2(1) − 1 = 1 DERIVADAS LATERALES. Derivada por la izquierda Derivada por la derecha Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntosde separación de los distintos trozos. Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 Las derivadas laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.No es derivable en x = 0. Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE PANAMÁ SEDE REGIONAL DE COLÓN CÁLCULO I PRIMER SEMESTRE 2015 Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de: En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.La función no es continua, por tanto tampoco es derivable. Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de :En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad. Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

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