Estudio De La Derivada Desde La Variación

Entre los siglos XIV y XVII el interés científico se centró en el estudio de las cualidades en situaciones como el movimiento, la intensidad luminosa o la intensidad de calor. Durante el siglo XVII se trataron grandes problemas para la ciencia que influyeron en su desarrollo y posteriormente en su formalización. Estos problemas surgieron por un lado de la mecánica, con el estudio del movimiento, y por otro lado de la geometría, donde lo que se buscaba era la determinación de tangentes a una curva dada. Newton y Leibniz relacionaron estos dos problemas y proporcionaron un método general para resolverlos. Esta conexión fue gracias a la poderosa herramienta que resultó el método de las coordenadas, que les permitió representar gráficamente la dependencia entre dos variables. Contaban ya con elementos que les permitieron representar funciones y, gracias al poder de estas representaciones gráficas, fue más sencillo relacionar los problemas

En este sentido, las diversas representaciones de la función y la derivada aparecen desde un principio íntimamente relacionadas, teniendo cada una de ellas un origen histórico y epistemológico diferente. El método de las coordenadas constituye también el fundamento de los otros dos grandes progresos realizados en el siglo XVII: la introducción de la noción de función y el cálculo infinitesimal”.

Al surgir nuevas curvas se presentaron nuevos problemas. Los griegos de la antigüedad clásica concebían la recta tangente a una cónica en un punto, como la recta que toca a la curva en ese punto pero no la corta al prolongarla. Los aportes de Fermat a la resolución de estos problemas fueron tales que Lagrange, Laplace y Tannery, entre otros, lo denominaron el inventor del cálculo. Tratando de determinar los máximos y los mínimos de ciertas funciones, observó que una curva tiene en cada uno de sus puntos una dirección, definida por la recta tangente a la curva en dichos puntos, tal que donde la función tiene un máximo o un mínimo, la tangente es horizontal. En su obra Methodus ad disquerendam maximan et miniman publicada en 1637 expuso su método para encontrar el valor extremo de algunas variables y propuso una manera de resolver el problema de las tangentes utilizando ideas cercanas a los infinitesimales. Utilizó elementos de tipo gráfico visual, así como ideas intuitivas de cambio y lo que pasa con estos cambios cuando se hacen muy pequeños. Su proceso se basó en la idea que si una secante s rota sobre uno de los puntos de intersección de manera que el punto más próximo se acerca indefinidamente al primero, entonces la secante s se aproxima a la posición definida t. La recta que tiene esa posición se llama tangente a la curva, y el punto fijo, punto de contacto (o punto de tangencia).

De todas las rectas que pasan a través de ese punto, la tangente es la que proporciona la mejor aproximación al curso de la curva en ese punto. Por ese motivo, la dirección de la tangente en el punto se llama también dirección de la curva en el punto. (La subtangente es la distancia del punto S que se encuentra en la intersección de la tangente con el eje de las abscisas y el punto R que es la abscisa del pie de la perpendicular trazada desde el punto M.) Después pasa de la secante a la tangente, poniendo h = 0 (aunque no menciona que h debe aproximarse a cero o que se haga cero, sino sólo que el término que contiene a h debe ser eliminado) de manera que, si s = SR, en términos modernos la expresión anterior quedaría escrita como s=f(x)/f’(x). Esto significa que la longitud de la subtangente, con la que la tangente queda determinada, se obtiene del cociente de la función entre su derivada. Cantoral y Farfán (2004, p. 72) expresan que “este método de Fermat, independientemente de los problemas de existencia de límites, dependía de la existencia de una relación explícita entre la variable y y la variable x de la forma y f(x)”.

Nacimiento del cálculo: El período que comienza en el siglo XVII, caracterizado por la síntesis entre los métodos geométricos de Cavalieri y Barrow, por los métodos analíticos de Descartes, Fermat y Wallis y por la asimilación del hecho de que el trazado de tangentes y cuadraturas eran procesos inversos e interrelacionados permitió la elaboración de un aparato algorítmico que brindaba métodos generales para el tratamiento de curvas estudiadas en la época. Estos avances fueron un elemento importante en la formación del Análisis Infinitesimal. Su nacimiento fue la culminación de un largo proceso, que consistió en la acumulación de elementos del cálculo diferencial e integral así como de la teoría de series.

En el último cuarto del siglo XVII, el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, de manera diferente e independiente sistematizaron y generalizaron las ideas y procedimientos que habían sido abordados hasta el momento. Tanto el cálculo de Newton como el de Leibniz trataban de cantidades variables. En Newton cantidades que variaban con el tiempo. En Leibniz una sucesión de valores infinitamente próximos. El primero tuvo una idea intuitiva de movimiento continuo próxima al concepto de límite. El segundo concibió el continuo geométrico formado por segmentos infinitesimales.

El primero en descubrir el cálculo fue Newton, pero su miedo a publicar le hizo guardar su descubrimiento en secreto. Uno de sus aportes fundamentales es la interpretación geométrico-cinemática de los conceptos fundamentales del análisis matemático. Siguiendo a su maestro Barrow, tomó el tiempo como argumento y analizó las variables dependientes como cantidades continuas que tienen cierta velocidad de cambio.

En su obra Método de las Fluxiones (1665-1666) estudió las magnitudes variables que representan diversas formas de movimiento mecánico continuo. A las magnitudes que varían continuamente las llamó fluentes (nuestras funciones actuales) y las consideró como variables dependientes del tiempo, después introdujo las velocidades de las fluentes que las denominó fluxiones. Para calcular las fluxiones les imponía a las fluentes la condición de una variación infinitesimal y las representaba por x e y. En términos actuales éstas son las derivadas de x e y con respecto a t (x=dx/dt;y=dy/dt) y la razón entre ellas es la derivada de y con respecto a x (y/x=dy/dx).

Las fluxiones o velocidades de las fluentes son razones de cambio instantáneas, y expresan la rapidez con que cambia una variable respecto a otra en un instante. Esta es la idea física fundamental que subyace en el concepto actual de derivada.

Asoció también el concepto de fluxión con el problema de las tangentes. De manera muy similar a las ideas desarrolladas por sus predecesores, consideró una curva f(x, y) = 0 como el lugar geométrico determinado por la intersección

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