Desigualdad Matematica

Desigualdad matemática

En matemáticas una desigualdad es una relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.1

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. Ejs: 4^x-2 (4 equivale a x-2) /esto nos llevaria ya a un prefijo ecuacional puro, eliminando las incomodidades de la escritura dialectal/

Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si (a > b) y (b > c); entonces (a > c)

• Si (a < b) y (b < c); entonces (a < c)

• Si (a > b) y (b = c); entonces (a > c)

• Si (a < b) y (b = c); entonces (a < c)

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c :

• Si (a < b), entonces ((a + c) < (b + c)) y ((a − c) < (b − c))

• Si (a > b), entonces ((a + c) > (b + c)) y ((a − c) > (b − c))

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b; y c diferente de cero :

• Si c es positivo y (a < b), entonces (ac < bc) y (a/c < b/c)

• Si c es negativo y (a < b), entonces (ac > bc) y (a/c > b/c)

Adición inversa

Se produce cuando el número que se suma a un número particular da como resultado cero.

• Para cualquier número real a, b :

• Si (a < b) entonces ((−a) > (−b))

• Si (a > b) entonces ((−a) < (−b))

Multiplicación inversa

La multiplicación inversa de una fracción (a/b) es (b/a). La de cualquier número real (a) es (1/a)

• Para cualquier número real a,b diferente de cero, siendo ambos positivos o negativos a la vez :

• Si (a < b) entonces ((1/a) > (1/b))

• Si (a > b) entonces ((1/a) < (1/b))

• Si a ó b son negativos, pero no ambos a la vez :

• Si (a < b) entonces ((1/a) < (1/b))

• Si (a > b) entonces ((1/a) > (1/b))

Aplicando una función a ambos lados

Gráfico de la función y = ln x

Cualquier función estrictamente monótona creciente se puede aplicar a ambos lados de una desigualdad y se mantendrá vigente. Aplicar una función estrictamente monótona decreciente a ambos lados de una desigualdad significa lo contrario de lo que la desigualdad mantiene ahora. Las reglas de adiciones y multiplicaciones inversas son ejemplos de la aplicación de una función monótonamente decreciente.

• Para una desigualdad no estricta (a ≤ b, a ≥ b):

• Aplicar una función monótonamente creciente conserva la relación (≤ sigue_siendo ≤, ≥ sigue_siendo ≥)

• Aplicar una función monótonamente decreciente invierte la relación (≤ se_convierte_en ≥, ≤ se_convierte_en ≥)

Como ejemplo, considerar la aplicación del logaritmo natural a ambos lados de una desigualdad:

Esto es así porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente.

Desigualdades conocidas

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como:

• Desigualdad de Azuma

• Desigualdad de Bernoulli

• Desigualdad de Boole

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

• Desigualdad de Chebyshov

• Desigualdad de Chernoff

• Desigualdad de Cramér-Rao

• Desigualdad de Hoeffding

• Desigualdad de Hölder

• Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

• Desigualdad de Jensen

• Desigualdad de Márkov

• Desigualdad de Minkowski

• Desigualdad de Nesbitt

• Desigualdad de Pedoe

• Desigualdad de Shapiro

• Desigualdad triangular

Intervalo (matemática)

En matemáticas, un intervalo (del lat intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Caracterización

El intervalo real es la parte de que verifica la siguiente propiedad:

Si e pertenecen a con , entonces para todo tal que , se tiene que pertenece a .

Notación

Intervalo abierto (a,b).

Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

[editar] Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• o bien

• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

[editar] Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

•

• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

[editar] Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

• o bien , notación conjuntista:

• o bien , notación conjuntista:

Nota:

• Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.

• (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.

• [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.

• Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación , denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.

• Ambas notaciones admiten el símbolo para indicar que no hay cota.

Ejemplos

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción

Intervalo cerrado de longitud finita.

Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).

Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).

Intervalo abierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo a la vez abierto y cerrado.

Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).

x no existe Sin longitud. Conjunto vacío.

Propiedades

• La intersección de intervalos de es también un intervalo.

• La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).

• Las partes conexas de son exactamente los intervalos.

• Los intervalos cerrados son lo que se denominada «segmento de recta».

• La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

• I + J = [ a + c , b + d ].

• I - J = [ a - d, b - c ].

• Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I • J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

En el espacio métrico , los intervalos son las bolas abiertas y cerradas.

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de , que es el producto cartesiano de n intervalos: , uno en cada eje de coordenadas.

De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

Geometría - Definiciones

# Recta: es una sucesión de infinitos puntos que se extiende en una misma dirección y en ambos sentidos.

# Semirrecta - Rayo: es un subconjunto de puntos de una recta. Es una recta o un segmento de recta que tiene un origen, una dirección y un sentido.

# Segmento: es una porción de una recta.

# Angulo: es la abertura formada por la unión de 2 semirrectas en un mismo punto llamado vértice; las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo.

Es la figura geométrica formado por 2 rayos que tiene un punto común llamado vértice.

El ángulo se obtiene por la rotación de una semirrecta

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