Los tipos de desigualdades. Las desigualdades matemáticas

MINISTERIO DE EDUCACIÓN[pic 1]

CENTRO DE FORMACIÓN INTEGRAL

COLEGIO ABEL BRAVO[pic 2][pic 3]

NOMBRE

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TEMA

LOS TIPOS DE DESIGUALDADES

ASIGNACIÓN MATEMÁTICA

NIVEL 6-D

CONSEJERO VALERIO PINEDO

AÑO ELECTIVO 2025

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN        3

1.        LOS TIPOS DE DESIGUALDADES        4

a.        Desigualdad Cuadrática        4

b.        Desigualdad lineal        6

c.        Desigualdad de Valor Absoluto        9

d.        Desigualdad Racional        10

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INTRODUCCIÓN

Las desigualdades matemáticas, que expresan que dos cantidades no son iguales, tienen una historia larga y rica que se remonta a las antiguas civilizaciones de Mesopotamia y Egipto, donde se usaban para la medición de terrenos y la construcción. La forma en que se representan las desigualdades ha evolucionado con el tiempo, pasando de notaciones personales a símbolos más estandarizados. 

Siglos XVII y XVIII: Se usaban notaciones personales o signos mecanografiados para indicar desigualdades, como la barra horizontal encima de < y >, utilizada por John Wallis en 1670.

Siglo XVIII: Pierre Bouguer introduce los símbolos ≦ y ≧ en 1734 para "menor o igual que" y "mayor o igual que", que luego se simplificaron a ≤ y ≥.

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1. LOS TIPOS DE DESIGUALDADES

La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.

La finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

1. Desigualdad Cuadrática

Es una expresión matemática donde una función cuadrática se compara con una constante o otra expresión usando un símbolo de desigualdad. En otras palabras, es una desigualdad donde la variable está elevada al cuadrado. 

Características:

La variable tiene exponente 2 (cuadrática). 

Se utiliza un símbolo de desigualdad para comparar la expresión cuadrática con otra expresión o valor. 

Ejemplos:

x² + 2x - 3 > 0, 2x² - 5x + 2 ≤ 0, x² < 4.

Ejemplos de símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤, ≠ 

Resolución de una desigualdad cuadrática generalmente implica:

• Resolver la ecuación cuadrática correspondiente: Encontrar los valores de x que hacen que la expresión cuadrática sea igual a cero. 
• Graficar la parábola: La parábola es la gráfica de la función cuadrática. 
• Determinar la solución: Identificar la región de la gráfica que satisface la desigualdad. 
• Expresar la solución: Indicar los intervalos de valores de x que cumplen la desigualdad. 

Ejemplo de resolución:

Considera la desigualdad x² - 4 < 0.

1. Resuelve la ecuación: x² - 4 = 0. Esto se factoriza como (x - 2)(x + 2) = 0, por lo que las soluciones son x = 2 y x = -2.

2. Grafica la parábola: La parábola abre hacia arriba (el coeficiente de x² es positivo). Los puntos x = 2 y x = -2 son los puntos donde la parábola cruza el eje x.

3. Determina la solución: La desigualdad x² - 4 < 0 significa que buscamos los valores de x donde la parábola está debajo del eje x. Esto ocurre entre las raíces x = -2 y x = 2.

4. Expresa la solución: La solución es -2 < x < 2.

Las desigualdades cuadráticas son desigualdades que involucran funciones cuadráticas y se resuelven analizando la gráfica de la parábola correspondiente y determinando qué valores de x cumplen la desigualdad. 

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1. Desigualdad lineal

Las desigualdades lineales son expresiones donde dos valores cualesquiera se comparan mediante símbolos de desigualdad como '<', '>', '≤' o '≥'. Estos valores pueden ser numéricos, algebraicos o una combinación de ambos. Por ejemplo, 10<11, 20>17 son ejemplos de desigualdades numéricas, y x>y, y<19-x, x ≥ z > 11 son ejemplos de desigualdades algebraicas (también llamadas desigualdades literales).

En matemáticas, la desigualdad representa la expresión matemática en la que ambos lados no son iguales. Si la relación establece una comparación desigual entre dos expresiones o dos números, se conoce como desigualdad. En este caso, el signo igual “=” en la expresión se reemplaza por cualquiera de los símbolos de desigualdad, como el símbolo de mayor que (>), el símbolo de menor que (<), el símbolo de mayor o igual que ( ≥ ), el símbolo de menor o igual que ( ≤ ) o el símbolo de distinto de ( ≠ ). Los diferentes tipos de desigualdades en matemáticas son la desigualdad polinómica, la desigualdad racional y la desigualdad de valor absoluto.

Los símbolos '<' y ">' expresan las desigualdades estrictas, mientras que los símbolos '≤' y '≥' denotan desigualdades de holgura. Una desigualdad lineal se asemeja a una ecuación lineal, pero hay un cambio en el símbolo que relaciona dos expresiones.

Forma de  resolver desigualdades en matemáticas

Los pasos para resolver todo tipo de desigualdades:

Paso 1: Primero, escribe la desigualdad como una ecuación.

Paso 2: Resuelve la ecuación dada para uno o más valores.

Paso 3: Ahora, representa todos los valores obtenidos en la recta numérica.

Paso 4: Use círculos abiertos para representar los valores excluidos en la línea numérica.

Paso 5: Encuentra el intervalo.

Paso 6: Ahora tome cualquier valor aleatorio del intervalo y sustitúyalo en la ecuación de desigualdad para verificar si los valores satisfacen la ecuación de desigualdad.

Paso 7: Los intervalos que satisfacen la ecuación de desigualdad son las soluciones de la ecuación de desigualdad dada.

Gráficas de desigualdades lineales

Al graficar desigualdades, podemos ver la gráfica de una función lineal ordinaria. Sin embargo, en el caso de una función lineal, la gráfica es una recta, mientras que en el caso de las desigualdades, la gráfica es el área del plano de coordenadas que satisface la desigualdad.

La gráfica de desigualdad lineal divide el plano de coordenadas en dos partes mediante una línea límite. Esta línea es la que corresponde a la función. Una parte de la línea límite contiene todas las soluciones de la desigualdad. La línea límite es discontinua para las desigualdades ">" y "<", y continua para "≥" y "≤".

Para trazar un gráfico de desigualdad, debemos seguir tres pasos:

Reordena la ecuación dada de modo que la variable «y» esté en el lado izquierdo y el resto de la ecuación en el lado derecho. Por ejemplo, y > x + 2

Grafique la línea “y=x+2” colocando los valores para x.

Dibujar una línea continua para y≤ o y≥ y una línea discontinua para y< o y>.

Ahora, sombrea la línea según las desigualdades, como por ejemplo encima de la línea para un “mayor que” (y> o y≥) y debajo de la línea para un “menor que” (y< o y≤).

Sistema de desigualdades lineales

Un sistema de inecuaciones lineales con dos variables incluye al menos dos inecuaciones lineales con las mismas variables. Al resolver una inecuación lineal, se obtiene un par ordenado. En resumen, en un sistema, la solución de todas las inecuaciones y la gráfica de la inecuación lineal son las que muestran todas las soluciones del sistema. Veamos un ejemplo para comprenderlo.

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