Diferencias Finitas

Conducción de calor (método de diferencias finitas)

introducción:

en la actualidad los métodos numéricos son de gran importancia en la solución de

problemas de ingeniería, y estos proporcionan resultados tan exactos como los

métodos analíticos; los métodos analíticos tienen ciertas desventajas ya que solo se

pueden aplicar a configuraciones geométricas simples, así como condiciones de

frontera también simples; pero esto no quiere decir que los métodos analíticos son

innecesarios, por el contrario un método analítico te ayuda a la percepción de los

fenómenos físicos y a la sabiduría de la ingeniería.

Los métodos numéricos se basan en le reemplazo de una ecuación diferencial por un

conjunto de n ecuaciones algebraicas para las temperaturas desconocidas en n

puntos seleccionados en el cuerpo a analizar y la solución simultanea de esas

ecuaciones permite encontrar la temperatura en esos puntos discretos.

Objetivo:

aprender como formular y resolver numéricamente problemas de transferencia de

calor por el método de diferencias finitas en estado estacionario y transitorio.

Desarrollo:

el método de diferencias finitas lo que hace básicamente es reemplazar las derivadas

por diferencias, entre mas pequeñas sean estas diferencias se pueden obtener

resultados razonablemente exactos. Para poder desarrollar la formulación en

diferencias finitas de problemas de transferencia de calor, lo primero que tenemos

que realizar es un balance de energía, después aplicamos el principio de la derivada,

la cual consiste en la razón del incremento ∆f en función al incremento de la variable

independiente. Esa expresión aproximada de la derivada en términos de diferencias

es la forma en diferencias finitas de la derivad. La cual surge de la expansión de las

series de Taylor.

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Conducción de calor (método de diferencias finitas)

El método de balance de energía, consiste en subdividir el cuerpo que se desea

analizar, después se la aplica un balance de energía en cada subdivisión. Esto se

realiza después de haber seleccionado los puntos nodales (o nodos) en los cuales en

los cuales se van a determinar las temperaturas y el siguiente paso es formar

elementos (o volúmenes) sobre los nodos y trazar rectas que pasen por los puntos

medios entre los nodos. De esta manera los nodos interiores se mantienen a la mitad

de los elementos, y las propiedades en el nodo son propiedades promedio del

elemento.

Para este método de diferencias finitas existen dos tipos de nodos: los nodos

internos y los nodos de frontera.

En los nodos internos las condiciones de frontera no tiene efecto, ya que no afectan

a la formulación en diferencias finitas de los nodos internos del cuerpo que se

analiza. Por otro lado los nodos frontera no tienen nodos vecinos en al menos uno de

sus lados. Por lo tanto la ecuación en diferencias finitas para este tipo de nodos es

diferente. Esta ecuación se obtiene volviendo hacer un balance de energía en los

elementos donde se encuentran los nodos frontera. Cuando se realiza este balance

se puede observar que en la parte donde el nodo frontera no tiene un nodo vecino,

puede perder calor por convección o radiación, o puede tener un flujo de calor

especifico o una temperatura especifica. Aunque se pudiera dar el caso en donde la

frontera estuviera aislada, en este caso el nodo frontera se podría tratar como un

nodo interno o también se podría considerar un flujo de calor cero en la parte o cara

del elemento que se encuentra aislado.

Este método de diferencias

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