Dominio Y Rango

3. Significado de dominio y rango de una función

En primer lugar se hablará sobre que es una función para saber completamente el contenido y no exista duda alguna sobre esto.

Las funciones pertenecen a las relaciones, por lo que cualquier función es una relación, pero esto no quiere decir que todas las funciones son relaciones, esto se debe a lo siguiente:

Una función real de variable real es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “X” de un conjunto de partida A ⊆ B un único número real “f(x)” de un conjunto de llegada B ⊆ .

Una regla de correspondencia de una función de variable real generalmente se da por medio de una o más fórmulas matemáticas y se representa con f(x).

El conjunto de partida A es el dominio de la función, el conjunto de llegada B se le llama Codominio o contradominio y al conjunto de los elementos “f(x)” de B se le llama Rango o Imagen de una función.

El dominio son todos los valores que se le pueden dar a la variable x con los cuales la variable dependiente y adquiere a su vez un valor real y bien determinado. O bien, son todos los valores que se le pueden dar a la variable x con los cuales se obtiene su gráfica.

Los valores que no puede tomar la variable x algunos son: los que hacen cero el denominador o los que hacen negativa una raíz cuadrada.

Rango o recorrido de una función es el conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

El símbolo que representa un número arbitrario de valores en el dominio de una función f se denomina variable independiente, y el correspondiente al rango se llama variable dependiente. Por ejemplo, en el caso de la gráfica del peso de una persona, la edad es la variable independiente y el peso la variable dependiente.

EJERCICIOS

Ejercicio1: Considérese la función f(x) = x2 +1. Encontrar su dominio y rango.

Los valores de la función se obtienen sustituyendo la x en esta ecuación.

 f(-1) = (-1) 2

+ 1 = 1 + 1 = 2,

 f(2) = (2)

2+ 1 = 4 + 1 = 5.

Graficando queda de esta manera la funcion:

De aquí observamos que el dominio de la función son todos los números reales, ya que para cada valor de x real su imagen es siempre un número real. En cambio el rango es el intervalo [1, +∞). Ya que nunca vamos a obtener para un número real x un valor menor de 1.

Ejercicio2: Hallar el dominio de f (x)

En este caso no hay raíces cuadradas, pero sí existe un denominador con variable. Entonces debe buscarse el valor que hace cero ese denominador y excluirlo de la recta numérica.

El valor que hace cero el denominador se obtiene haciendo

De donde

Este es el único valor que no puede tomar la x, por lo tanto el dominio son todos los de la recta numérica menos el 2, lo cual se escribe de cualquiera de las siguientes formas:

x ≠ 2 o bien x<2 ∪ x> 2 o también

(−∞,+2) ∪ (2,+∞ )

Ela gráfica correspondiente a la función y=. Nótese que para x=2 para no existe gráfica, para todos los demás valores de x , sí.

Ejercicio3: Hallar el dominio de .

Obsérvese que si la x vale , en- x = 0, entonces que no existe, por lo tanto la x no puede tomar ese valor. En cambio, si x = 7 entonces , lo que significa que la x sí puede tomar el valor de 7.

Para localizar los valores que sí puede tomar la x , deben encontrarse primero los valores no válidos que son los que hacen negativa la raíz cuadrada, o sea, los menores que cero, los cuales se obtienen planteando la desigualdad x − < 3 0

de donde se obtiene que . Significa que todas las x < 3 x menores que 3 hacen que la raíz cuadrada se vuelva negativa; por lo tanto, todas las equis menores que tres no son válidas. Quitándolas de la recta numérica quedan las equis que sí son válidas, o sea el dominio, las cuales son todas las equis mayores o iguales que tres. Nótese que si es válida.

Ejercicio4: Hallar el dominio y el rango de

El dominio, como no hay raíz cuadrada, son los valores que quedan luego de quitar aquellos que hacen cero el denominador, es decir que x2 = 0, o sea x=0. Por lo tanto, el dominio es x ≠ 0

Para calcular el rango, primero se despeja la x:

Luego de obtener una expresión con la variable x despejada, se analizan los valores de la variable y que hacen cero el denominador y que hacen negativa la raíz cuadrada.

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