EXAMEN 3 PROBABILIDAD

RESPUESTAS DEL EXAMEN CAPITULO 6.

1.-DEFINRI CONCEPTO DE TEORIA DE PROBABILIDAD.

Es el estudio que se refiere a los Modelos Matemáticos de los Fenómenos Aleatorios.

2.-        CONCEPTO DE FENOMENO ALEATORIO Y DAR 3 EJEMPLOS.

ES AQUEL QUE PUEDE DAR LUGAR A MAS DE UN RESULTADO, POR LO QUE, NO SE PUEDE PREDECIR UNO DE ELLOS EN UNA PRUEBA EN PARTICULAR.

EJEMPLOS:

a).- JUEGOS DE AZAR COMO LA LOTERIA

b).- RULETA.

c).- JUEGO DE BARAJA.

3.- Concepto de Modelo matemático y dar 3 ejemplos.

Representación de la realidad por expresiones matemáticas de manera que a través de esas abstracciones se pueden obtener consecuencias de la realidad de la cual se parte y de otras de naturaleza semejante.

Ejemplos: Sucesos ó Eventos, Espacio Muestral, Experimento Determinístico, Fenómeno Aleatorio.

4.- Definición clasica o A priori de probabilidad.

Escuela  Clásica o “A priori”.- Esta plantea que si un suceso puede ocurrir en  a  formas y fallar en  b  formas posibles, entonces  el número total de  formas posibles en que puede ocurrir o no ocurrir es  a + b. Sí  a + b  formas  son igualmente probables, la probabilidad P de que el suceso ocurra se define como el cociente          P =  a /a + b, y la probabilidad q de que el suceso no ocurra se define como el cociente  q =  b / a + b, en otras palabras, la probabilidad de que ocurra o no un suceso, se define como el cociente del número de casos favorables entre el número de casos posibles, siendo todos estos casos igualmente probables.

 Ejemplo 1.  Al tirar un dado una sola vez puede salir una cara cualquiera de las 6 que posee el dado, todas igualmente probables; la obtención de un 3 en el lanzamiento del dado, es una de las  diferentes caras que posee el dado, se dice que hay un caso favorable para que salga el 3 entre 6 casos posibles; en este caso se tiene que a = 1(caso favorable de obtener un 3),  b = 5 (caso no favorable  para obtener un 3), de modo que la probabilidad de acertar es: P=1 / 1 + 5 = 1 / 6  y  la probabilidad de fallar es: P = 5 /1 + 5 = 5 / 6

Ejemplo 2. sea E el suceso de tirar un dado una vez salga un tres y un cuatro. Hay seis formas de caer el dado 1,2,3,4,5, y 6. como E puede ocurrir de dos formas tenemos p=a / a+b a=2casos favorables y b=4 casos no favorables; de modo que la probabilidad de acertar es: P=2 / 1 + 5 = 2 / 6=1/3  y  la probabilidad de fallar es: P = 4 /1 + 5 = 4 / 6=2/3

Ejemplo 3: sea F el suceso de tirar un dado una vez salga un 4, 5 y 6. Hay seis formas de caer el dado 1,2,3,4,5, y 6. como F puede ocurrir de tres formas tenemos p=a / a+b a=3 casos favorables y b=3 casos no favorables; de modo que la probabilidad de acertar es: P=3 / 1 + 5 = 3 / 6=1/2  y  la probabilidad de fallar es: P = 3 /1 + 5 = 3 / 6=1/2

Pregunta num. 5

Concepto Estadistico o A Posteriori de la probabilidad y tres ejemplos:

Definición.- Si se considera un suceso que puede verificarse o fallar al efectuar una prueba, sí sé observa que ese suceso se verifica  m veces en un total de n pruebas bajo las mismas condición esenciales, entonces la razón  m/n se define como la probabilidad  P  de que el suceso se verifique en una cualquiera de las pruebas, entonces,  P = m/n. En esta definición de frecuencia, la probabilidad es un número estimado y la confianza de esta estimación aumenta con  n, es decir, cuando el número de observaciones crece. La probabilidad de la frecuencia relativa está basada en un gran número de experimentos y observaciones, y muy a menudo se le llama probabilidad Empírica, Estadística, A Posteriori  o  Teoría Objetiva. Esta es la definición más utilizada en la teoría de probabilidades.

P(A)= lim  nv = Fa

                 n

cuando  n tiende a infinito.

Pregunta 6  Definición Axiomática de Probabilidad

Axiomas de la teoría de probabilidades.- Los axiomas  de las probabilidades son los fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las probabilidades de eventos; estas reglas también se conocen  como propiedades de las probabilidades  y  son:

1.- La probabilidad de todo evento  o suceso es un número no negativo, es decir:   P(xi)≥0.

2.- La probabilidad de la unión  de eventos  ajenos en un experimento aleatorio es igual a la suma de las probabilidades de cada evento, es decir: P (U! Xi ) =  P (X1) + P(X2) + P(X3)+..........+  P(Xn) = 1

3.- La probabilidad del espacio muestral es uno: P(Ω)= 1

Las 7 propiedades son:

1.-        P( Ø )=0

2.-        si A c B         P(A) ≤ P(B)                     [pic 1]

3.-        P(A) ≤ 1   ¥  A € Q

4.-        P(A U B) = P(A) +P(B) – P(A∩ B)

5.-        P(A©)= 1- (P(A)

6.-        P(A1 U A2 U A3 U….UAn) -∑P(AiAj) + ∑P(AiAiA……) + [pic 2]P(AAi)

PREGUNTA 7. EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DAR 3 EJEMPLOS.

es el hecho de que sean  A  y  B  dos eventos asociados a un experimento aleatorio.

La probabilidad que ocurra  el evento  B, dado que ocurrió el suceso  A  se llama probabilidad condicionada del suceso  B, esta se simboliza por  P(B/A).

y se calcula  mediante la  formula:

[pic 3] Si  P(A) = 0, entonces  P (B/A),  no esta definida.

Ejemplos.

A.- Se lanza  un dado y se obtiene un número par. ¿Cuál  es la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de  3?

 Solución: Sea  A, el evento de obtener un número par, y sea  B  el evento de obtener un número múltiplo de  3, entonces el evento común entre los sucesos A  y  B será  A∩B. El espacio muestral  del lanzamiento de un dado es  6, ahora bien los diferentes eventos del problema serán:

        A = ⎨2, 4,6⎬, entonces  P(A) = 3/6

        B = ⎨3, 6⎬.

  A∩B = ⎨6⎬, luego          P(A∩B) = 1/6

     [pic 4]

Este  problema también se puede resolver aplicando una tabla o matriz de doble entrada, en donde se observan todos los eventos del problema planteado, observemos  la siguiente tabla:

Solución: En esta tabla se observa que los eventos pares  en total son  3, por lo tanto el espacio muestra original que era  6 se redujo  a 3. En la fila de los eventos que son pares se observan los  que cumplen con la condición de ser múltiplo de  3, por lo tanto es un solo caso favorable, de la misma forma   se observa que solo hay  3  caso posibles de números pares, luego    la probabilidad buscada será el cociente  que resulta de:

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