Ecuaciones Diferencialas

INDICE:

Crecimiento biológico……………………………… 3

Ley de enfriamiento de Newton………………….. 4

Decaimiento radiactivo……………………………. 7

Mezclas químicas………………………………… 11

Ley de Hooke…………………………………….. 12

Segunda Ley de Newton………………………… 18

Movimiento armónico simple………………….... 18

Referencias………………………………………..23

Crecimiento biológico

Un problema fundamental en biología es el crecimiento, sea éste el crecimiento de una célula, un órgano, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial (1) nos dice que el crecimiento ocurre si > 0, y por otro lado el decaimiento (o encogimiento) ocurre si < 0. Un defecto obvio de la ecuación (1) y de su solución es que si > 0 y el tiempo transcurre, el crecimiento es ilimitado. Esto es una contradicción con la realidad, puesto que, después de transcurrir un cierto tiempo, sabemos que la célula o individuo deja de crecer, y obtiene un tamaño máximo. La pregunta que surge es ¿podemos modificar (1) para que los resultados concuerden con la realidad?, la respuesta es sí, y está dada por la ecuación diferencial:

, (2)

cuya solución es:

(3)

la cual se obtiene fácilmente aplicando el método de separación de variables. Además de (3),

observemos que , lo cual muestra que el crecimiento dado por (3) tiene un límite, tal como lo requieren la realidad, y validando el modelo de crecimiento (2) y (3). Algunos ejemplos de aplicaciones para este modelo son: calcular la altura media de un grupo de mujeres en pleno crecimiento o predecir la población de México para el 2010, etcétera.

Ley de enfriamiento de Newton

Se denomina enfriamiento newtoniano a aquel proceso de enfriamiento que sigue una ley determinada experimentalmente por Isaac Newton, según la cual la velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío cuya temperatura es ?, es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y del ambiente.

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

Dando como resultado la siguiente formula:

En donde ...

Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida para pequeñas diferencias entre U0y T. En todo caso la expresión superior es útil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial el cual se denomina como la función exponencial que es una función real la cual tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como ,donde ℮ es la base de los logaritmos naturales.

Asi podemos observar que la función del despeje del tiempo en la formula de enfriamiento es inversa a la función de la ley de enfriamiento de newton, dicha afirmación se puede comprobar con el siguiente desarrollo, pero antes veremos que es función inversa:

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Entonces decimos que dos funciones: f(x) y y(x) son funciones inversas si:

f y g son inyectivas (donde a cada elemento del rango le corresponde relacionarse únicamente con un elemento del dominio).

Decaimiento radiactivo

La radiactividad fue descubierta en 1896 por Henri Becquerel cuando investigaba la fluoresencia de ciertos compuestos después de ser expuestos a la luz solar. Becquerel se percató accidentalmente que el uranisulfito de potasio era capaz de velar placas fotográficas sin necesidad de exponer el compuesto al sol y que su ``fluorecencia'' podía atravesar las envolturas en las que se encontraba la placa fotográfica. Pierre y Marie Curie continuaron con la investigación de Becquerel y descubrieron que el torio tenía la misma propiedad del uranio y la llamaron radiactividad. Los Curie descubrieron el polonio y el radio como nuevos elementos en la tabla periódica. Poco tiempo después Ernest Rutherford descubre que la radiación era un fenómeno compuesto y descubrió las partículas alfa y beta. En 1900 P. Villard descubre que un tercer componente de la radiación que era mucho más penetrante que las partículas y y que no era desviado por campos eléctricos ni magnéticos, por lo que debía ser una onda electromagnética, a la que llamó rayos gamma. En 1934 J.-F. Joliot y I. Joliot-Curie logra formar átomos de P radiactivos al bombardear átomos de Al con partículas . En 1942 Fermi y sus colaboradores construyen el primer reactor nuclear autosostenido en el sótano de la universidad de Chicago con lo que la humanidad pudo generar elementos radiactivos artificialmente. La radiactividad es un proceso estocástico presente en la naturaleza en el cual un núcleo atómico inestable decae por medio de la emisión partículas , o captura electrónica (C.E.). Después del decaimiento el núcleo puede quedar en un estado excitado, es decir, con mayor energía de la que necesita

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