Ecuaciones Diferencialas

INDICE:

Crecimiento biológico……………………………… 3

Ley de enfriamiento de Newton………………….. 4

Decaimiento radiactivo……………………………. 7

Mezclas químicas………………………………… 11

Ley de Hooke…………………………………….. 12

Segunda Ley de Newton………………………… 18

Movimiento armónico simple………………….... 18

Referencias………………………………………..23

Crecimiento biológico

Un problema fundamental en biología es el crecimiento, sea éste el crecimiento de una célula, un órgano, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial (1) nos dice que el crecimiento ocurre si > 0, y por otro lado el decaimiento (o encogimiento) ocurre si < 0. Un defecto obvio de la ecuación (1) y de su solución es que si > 0 y el tiempo transcurre, el crecimiento es ilimitado. Esto es una contradicción con la realidad, puesto que, después de transcurrir un cierto tiempo, sabemos que la célula o individuo deja de crecer, y obtiene un tamaño máximo. La pregunta que surge es ¿podemos modificar (1) para que los resultados concuerden con la realidad?, la respuesta es sí, y está dada por la ecuación diferencial:

, (2)

cuya solución es:

(3)

la cual se obtiene fácilmente aplicando el método de separación de variables. Además de (3),

observemos que , lo cual muestra que el crecimiento dado por (3) tiene un límite, tal como lo requieren la realidad, y validando el modelo de crecimiento (2) y (3). Algunos ejemplos de aplicaciones para este modelo son: calcular la altura media de un grupo de mujeres en pleno crecimiento o predecir la población de México para el 2010, etcétera.

Ley de enfriamiento de Newton

Se denomina enfriamiento newtoniano a aquel proceso de enfriamiento que sigue una ley determinada experimentalmente por Isaac Newton, según la cual la velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío cuya temperatura es ?, es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y del ambiente.

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

Dando como resultado la siguiente formula:

En donde ...

Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida para pequeñas diferencias entre U0y T. En todo caso la expresión superior es útil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial el cual se denomina como la función exponencial que es una función real la cual tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como ,donde ℮ es la base de los logaritmos naturales.

Asi podemos observar que la función del despeje del tiempo en la formula de enfriamiento es inversa a la función de la ley de enfriamiento de newton, dicha afirmación se puede comprobar con el siguiente desarrollo, pero antes veremos que es función inversa:

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Entonces decimos que dos funciones: f(x) y y(x) son funciones inversas si:

f y g son inyectivas (donde a cada elemento del rango le corresponde relacionarse únicamente con un elemento del dominio).

Decaimiento radiactivo

La radiactividad fue descubierta en 1896 por Henri Becquerel cuando investigaba la fluoresencia de ciertos compuestos después de ser expuestos a la luz solar. Becquerel se percató accidentalmente que el uranisulfito de potasio era capaz de velar placas fotográficas sin necesidad de exponer el compuesto al sol y que su ``fluorecencia'' podía atravesar las envolturas en las que se encontraba la placa fotográfica. Pierre y Marie Curie continuaron con la investigación de Becquerel y descubrieron que el torio tenía la misma propiedad del uranio y la llamaron radiactividad. Los Curie descubrieron el polonio y el radio como nuevos elementos en la tabla periódica. Poco tiempo después Ernest Rutherford descubre que la radiación era un fenómeno compuesto y descubrió las partículas alfa y beta. En 1900 P. Villard descubre que un tercer componente de la radiación que era mucho más penetrante que las partículas y y que no era desviado por campos eléctricos ni magnéticos, por lo que debía ser una onda electromagnética, a la que llamó rayos gamma. En 1934 J.-F. Joliot y I. Joliot-Curie logra formar átomos de P radiactivos al bombardear átomos de Al con partículas . En 1942 Fermi y sus colaboradores construyen el primer reactor nuclear autosostenido en el sótano de la universidad de Chicago con lo que la humanidad pudo generar elementos radiactivos artificialmente. La radiactividad es un proceso estocástico presente en la naturaleza en el cual un núcleo atómico inestable decae por medio de la emisión partículas , o captura electrónica (C.E.). Después del decaimiento el núcleo puede quedar en un estado excitado, es decir, con mayor energía de la que necesita para encontrarse en su estado base. Esta energía extra es liberada emitiendo rayos característicos del núcleo. La energía de estos rayos dependen de los niveles energéticos internos que son diferentes para todos los núcleos. El nuevo núcleo producido por el decaimiento del anterior puede ser también inestable y decaer a su vez en otro núcleo repitiendo todo el proceso. El comportamiento del núcleo se estudia dentro del campo de la mecánica cuántica lo que impide predecir el instante en el que un núcleo decae y solo es posible hablar en términos de la probabilidad de decaimiento por intervalo de tiempo. Si se considera que la probabilidad de que un núcleo decaiga por alguno de los tipos de emisión ya mencionados en un intervalo de tiempo , ésta es proporcional al intervalo de tiempo, esto es , donde es la constante de decaimiento. Entonces se tiene que la cantidad de núcleos inestables que decaen en un intervalo de tiempo es:

donde el signo negativo se introduce porque el número de núcleos se irá reduciendo. Al resolver la ecuación diferencial queda:

donde es el número inicial de átomos. Esta ecuación es conocida como Ley de Decaimiento Radiactivo. También ha sido observado que la mayoría de núcleos pueden decaer por tipos de emisión diferentes, es decir, tienen cierta probabilidad de decaer por partículas , cierta probabilidad de decaer por partículas y cierta probabilidad de decaer por C.E. Entonces la probabilidad de que este decaiga en un intervalo es donde es la constante asociada al tipo de decaimiento. Haciendo la ecuación de decaimiento queda:

A partir de esta ecuación se pueden definir una serie de parámetros para describir el comportamiento radiactivo: Vida promedio : es el tiempo en el cual el número de átomo es igual a , es decir .Vida media : es el tiempo que tarda en reducirse el número de átomos a la mitad de su número inicial; esto es: , lo cual da:

Probabilidad de emisión: este parámetro se refiere a la probabilidad de que el núcleo decaiga por un tipo específico de emisión y está dado por:

La actividad: se define como el número de desintegraciones que ocurren por unidad de tiempo, es decir:

donde es la actividad inicial cuando existían núcleos emisores. Cuando el núcleo producto de la desintegración radiactiva es también inestable, entonces se tiene una cadena y la existencia de los núcleos producto (hijos) dependen de la actividad de los núcleos que los producen (padres) y el comportamiento se describe de la siguiente forma:

cuya solución es:

De las condiciones iniciales se tiene que:

al introducir estas condiciones en las ecuaciones diferenciales nuevamente se tiene:

y para el resto de coeficientes:

De esta forma, si se conocen las constantes de decaimiento para cada núcleo en una cadena se puede estimar la cantidad de núcleos que habrán en un instante dado.

Mezclas químicas

Definamos la concentración de una sustancia como:

Concentración = Cantidad de sustancia/Volumen total

Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces:

En un instante cualquiera una sustancia presente en la mezcla se definirá como:

Donde:

Q (t) = cantidad de sustancia.

Qe = cantidad

...