Ecuaciones Empiricas

LABORATORIO DE FISICA I

PRACTICA Nº 2

Cartagena 2012

ECUACIONES EMPIRICAS

Arrieta J.,1Niño A.2, Puello J.2, Centanaro C.2, Espinosa C.2, Restrepo A.2

Facultad de Ingeniería

1Profesor de Laboratorio Física I.

2Estudiantes del programa de Ingeniería Química II-Semestre.

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Resumen: En esta segunda práctica de laboratorio se establecieron relaciones funcionales entre las variables de un sistema a basándonos en situaciones empíricas. Se analizo la relación entre longitud y periodo de un péndulo simple. Para ello se realizo el montaje del péndulo con una masa constantey con diferentes longitudes para así analizar la relación entre estas, cuando se determinaba el periodo, para cada longitud establecida.

Palabras claves: Relaciones Funcionales, Variables, Péndulo Simple, Periodo, Longitud, Periodo, Constante.

Abstract: Key words:

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1. Objetivos:

Objetivo General: Determinar experimental y teóricamente la relación existente entre el periodo y longitud de cuerda en un péndulo simple.

Objetivos Específicos:

Calcular el tiempo que tarda el péndulo en realizar cierto número de oscilaciones con relación a la longitud de cuerda que presente en ese momento.

Establecer el periodo del péndulo simple para cada longitud de cuerda.

Comparar ecuaciones empíricas obtenidascon ecuación teóricas ya planteadas.

2. Introducción:

Es posible definir un sistema a estudiar de acuerdo a las variables que lo describen. Dichas variables, generalmente, se encuentran estrechamente relacionadas, experimentando lo que se denota como relación funcional. Esta última puede ser descrita en términos matemáticos que permitirán determinar una variable si se conocen otras tantas. Sin embargo, esa expresión matemática que relaciona las variables debe ser determinada de manera experimental, es decir, recolectando una cantidad apropiada de datos y analizando a los mismos para establecerla, este hecho se conoce como determinación de ecuaciones empíricas[4]. Entre otros métodos para analizar datos experimentales y establecer una ecuación que los relacione se destacan el método de mínimos cuadrados y ajuste de curva.

3. Resumen Teórico:

Una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de un fenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información de las leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichas leyes puede ser tan complicada que impide construir un modelo analítico obligando a recurrir al uso de ecuaciones empíricas para su comprensión[4]. Para establecer estas ecuaciones a partir de los datos recogidos se hace uso de dos métodos:

El ajuste de curvas:Es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} (siendo x la variable independiente e y la dependiente), se determina una función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediante la función ajustada en cada punto sea mínima[2].

Mínimos cuadrados: Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático[3].

Estos métodos serán desarrollados ampliamente en los anexos.

4. Material utilizado:

Regla graduada de 100cm

Transportador

Péndulo

Soporte universal

Pie triangular

Pieza de sujeción de varilla

Cronometro

Cuerda

5. Procedimiento:

Se recibió un soporte universal por parte del auxiliar, se armó y se coloco verticalmente sobre la mesa, en la parte superior del soporte se sujeto una pinza, y a su vez se sujeto una varilla a la pinza.

Se procedió a amarrar una cuerda por un extremo a la varilla, el otro extremo estaba amarrado a una masa.

Se suspendieron péndulos de longitudes 20, 40, 50(intermedio), 60, 80, 100 y 120.

Para cada una de los péndulos anteriores se determino tres veces el tiempo que gasto cada péndulo en hacer 10 oscilaciones.

Por último se tuvo en cuenta que la amplitud del Angulo no fuera mayor de 15°

6. Resultados y Discusión.

6.1. Datos recolectados.

En la siguiente tabla se consignan las distintas longitudes de cuerda y su respectivo periodo de oscilación. Se midió el tiempo que tardo el péndulo en realizar 10 oscilaciones por lo que el periodo se calculo según la ecuación: T=t_p/10. Donde t_p es el tiempo promedio de las medidas realizadas.

Tabla 1: Datos recolectados experimentalmente. Periodo (T) y Longitud (L).

6.2. Graficas de los datos recolectados T vs L.

En las siguientes graficas se muestran los pares ordenados (L, T) y se relacionan mediante dos tipos de funciones: una lineal (primera grafica) y otra potencial (segunda grafica).

Grafica 1:Pares ordenados (Longitud, Periodo)y la función lineal que más se acerca a reunir todos los pares.

Grafica 2: Pares ordenados (Longitud, Periodo) y la función exponencial que más se acerca a reunir todos los pares.

6.3. Análisis de las graficas y ajuste de las mismas.

Se observa que la grafica de la función potencial se ajusta más a los datos obtenidos. Dicha función será una función de la forma T=aL^b (ya que el intercepto con el eje y es 0, por lo que la expresión no posee termino independiente), donde “T” es el periodo, “L” la longitud y a, b son constantes. Dada una función de la forma T=aL^bse puede proceder de la siguiente forma:

log⁡T=log⁡〖aL^b 〗

log⁡T=log⁡a+log⁡〖L^b 〗

log⁡T=log⁡a+b log⁡L

Si denotamos log⁡T=g,log⁡a=C,b=Mylog⁡L=u obtenemos una expresión de la forma g=Mu+C donde “g” es lavariable dependiente, “u”la variableindependientey“M”, “C” son constantes. Es posible ver que la expresión obtenida es la ecuación de una línea recta. Para comprobar ello analicemos la grafica de log⁡T vs log⁡L. En la siguiente grafica se muestra los pares ordenados (log⁡T,log⁡L) y se relacionan medianteuna función lineal.

L(cm) log⁡L T(s) log⁡T

20 1.30 0.94 -0.027

40 1.60 1.26 0.100

50 1.70 1.43 0.155

60 1.78 1.55 0.190

80 1.90 1.82 0.260

100 2 2.00 0.301

120 2.08 2.18 0.338

Tabla 2:Longitud, Logaritmo de la Longitud, Periodo, Logaritmo del Periodo.

Grafica 3: Pares ordenados (logaritmo de Longitud, logaritmo de Periodo) y la función lineal que más se acerca a reunir todos los pares.

Como vimos en la grafica 3, es posible relacionar los logaritmos de T y L mediante una línea recta, justificando la expresión obtenida al aplicar logaritmos a la función potencial que describe a la grafica 2.

Hemos obtenido una función lineal aplicando logaritmos sobre nuestra función inicial (potencial). Hecho esto, es posible proceder a encontrar la respectiva ecuación empírica.

6.3.1 Método libre de ajuste de curvas.

Aplicando el método libre de ajuste de curvas y tomando los puntos P (1.3,-0.027) y Q (2.08, 0.338) obtenemos:

g-g_1=(g_2-g_1)/(u_2-u_1 )(u-u_1)

g+0.027=(0.338+0.027)/(2.08-1.3)(u-1.3)

g+0.027=0.46(u-1.3)

g=0.46u-0.62

M=0.46 y C=-0.62.

Hallados M y C la expresión g=Mu+C quedaría de la forma g=0.46u-0.62. Sin embargo, log⁡a=C y b=M entonces a=〖10〗^C=〖10〗^(-0.62)=0.23

Por lo tanto, la función exponencial que describe la relación entre el periodo (T) y la longitud (L) es T=0.23L^0.62. La anterior es la formula empírica buscada.

6.3.2 Método de los mínimos cuadrados.

Usando el método de mínimos cuadrados obtenemos los valores de M y C.

M=(n∑▒〖x_i y_i-〗 ∑▒〖x_i ∑▒y_i 〗)/(n∑▒〖x_i^2-〖(∑▒〖x_i)〗〗^2 〗)=(7(2.52)-(12.35)(1.32))/(7(22.24)-〖(12.35)〗^2 )=(17.64-16.30)/(155.68-152.52)=1.34/3.16=0.42

C=(∑▒〖x_i^2 ∑▒〖y_i-∑▒〖x_i ∑▒〖x_i y_i 〗〗〗〗)/(n∑▒〖x_i^2-〖(∑▒〖x_i)〗〗^2 〗)=((22.24)(1.32)-(12.35)(2.52))/(7(22.24)-〖(12.35)〗^2 )=(29.36-31.12)/(155.68-152.52)=(-1.76)/3.16=-0.56

Hallados M y C la expresión g=Mu+C quedaría de la forma g=0.42u-0.56. Sin embargo, log⁡a=C yb=Mentonces a=〖10〗^C=〖10〗^(-0.56)=0.27

Por lo tanto, la función exponencial que describe la relación entre el periodo (T) y la longitud (L) es T=0.27L^0.42. La anterior es la formula empírica buscada.

6.3.3 Comparaciones entre las ecuaciones empíricas obtenidas a partir de los dos métodos de ajuste de datos.

Valor del coeficiente “a” ecuación de ajuste libre de curva. Valor del coeficiente “a” para ecuación

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