Ecuaciones Semana 5 Ejercicios del quiz
Enviado por Laura Florez • 18 de Noviembre de 2021 • Informes • 752 Palabras (4 Páginas) • 175 Visitas
Agosto 31 Ejercicios del quiz:
Un material radioactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 40 mg de material y al cabo de una hora se observa que se ha perdido el 8% de la cantidad inicial. ¿en qué instante se habrá desintegrado la mitad del material?
Datos. 𝑅(0) = 40𝑚𝑔
𝑅(1 ℎ) = 𝑠𝑒 ℎ𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 8% 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝑅(1 ℎ) = (0.08)40𝑚𝑔 = 3.2𝑚𝑔
La E.D. trabaja con lo que queda
40 − 3.2𝑚𝑔 = 36.8𝑚𝑔
𝑅(1 ℎ) = 36.8 𝑚𝑔
𝑑𝑅[pic 1]
𝑑𝑡
1
= 𝑘𝑅
Integrando
𝑑𝑅 = 𝑘𝑑𝑡
𝑅[pic 2]
1
∫ 𝑑𝑅 = 𝑘 ∫ 1 𝑑𝑡[pic 3]
𝑅
𝑙𝑛𝑅 = 𝑘𝑡 + 𝑐
Solución implícita y general. Se aplica inversa con Euler
𝑒𝑙𝑛𝑅 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
𝑅(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑘𝑡
Solución explicita y general
Solución Particular:
40 = 𝑐1𝑒𝑘(0)
40 = 𝑐1(1) = 40
𝑅(𝑡) = 40𝑒𝑘𝑡
Ahora se tiene
36.8 = 40𝑒𝑘(1)
36.8 = 𝑒𝑘[pic 4]
40
36.8
𝑙𝑛 ([pic 5]
40
) = ln(𝑒𝑘)
𝑘 = −0.0834
𝑅(𝑡) = 40𝑒−0.0834𝑡
Respuesta mitad de material
(0.5)40𝑚𝑔 = 20𝑚𝑔
Se pregunta tácitamente por la vida media del material.
20 = 40𝑒−0.0834𝑡
1 = 𝑒−0.0834𝑡[pic 6]
2
1
ln([pic 7]
2
) = ln(𝑒 1
−0.0834𝑡)
ln([pic 8]
2
1
) = −0.0834𝑡
ln(2)[pic 9][pic 10]
−0.0834
= 𝑡 ≈ 8.31 ℎ
Un individuo consume 50 miligramos de un medicamento, para el dolor muscular y a través de un examen se determina que después de 3 días se encuentra en el organismo aún, el 20% de la sustancia inicial.
La vida media del medicamento y el porcentaje de la cantidad original de sustancia que se encuentra en el organismo, pasados 4 días del consumo inicial, son respectivamente:
Datos. 𝑠(0) = 50𝑚𝑔
𝑠(3𝑑) = 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 20% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑠(3𝑑) = 0.2(50𝑚𝑔) = 10𝑚𝑔
𝑑𝑠
[pic 11]
𝑑𝑡
1
= 𝑘𝑠
Integrando
𝑑𝑠 = 𝑘𝑑𝑡
𝑅[pic 12]
1
∫ 𝑑𝑠 = 𝑘 ∫ 1 𝑑𝑡[pic 13]
𝑅
𝑙𝑛𝑠 = 𝑘𝑡 + 𝑐
Solución implícita y general. Se aplica inversa con Euler
𝑒𝑙𝑛𝑠 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
𝑠(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑘𝑡
Solución explicita y general
Solución Particular:
50 = 𝑐1𝑒𝑘(0)
50 = 𝑐1(1) = 50
𝑠(𝑡) = 50𝑒𝑘𝑡
10 = 50𝑒𝑘(3)
10 = 𝑒3𝑘[pic 14]
50
𝑙𝑛 (
1
) = ln(𝑒[pic 15]
5
1
3𝑘)
𝑙𝑛 ([pic 16]
5
) = 3𝑘
1
𝑙𝑛 ( )
[pic 17]
5 = 𝑘
3
𝑘 = −0.5365
𝑠(𝑡) = 50𝑒−0.5365𝑡
Vida media: 𝑟= ¿??? Es decir cuando quedan 0.5(50𝑚𝑔) = 25𝑚𝑔
25 = 50𝑒−0.5365𝑐
25 = 𝑒−0.5365𝑐[pic 18]
50
1
𝑙𝑛 ([pic 19]
2
) = ln(𝑒 1
−0.5365𝑐)
𝑙𝑛 ([pic 20]
...