Ecuaciones direnciales

MODELO MATEMÁTICO

Un modelo matemático es un ejemplar que utiliza fórmulas y/o ecuaciones matemáticas para representar la relación entre distintas variables, parámetros y restricciones, es decir, que son basadas en una descripción cuantitativa de un fenómeno real, y creadas con la intensión de que el comportamiento que predicen se parezca al comportamiento real en el que se ha basado.

Ejemplo:

El ritmo o velocidad de cambio de  con respecto a  es inversamente proporcional al cuadrado de :[pic 1][pic 2][pic 3]

 [pic 4]

[pic 5]

Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables, entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. Dependiendo del objetivo buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad, entre otros objetivos.

Tipos de modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden

• Crecimiento y Decrecimiento

Thomas Malthus, economista ingles en 1798 desarrollo un modelo de crecimiento demográfico humano. La idea de este modelo es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, en otras palabras, mientras más personas haya en el momento , habrá más en el futuro. En términos matemáticos se puede expresar de la siguiente forma:[pic 6]

[pic 7]

es una constante de proporcionalidad[pic 8]

 inversamente proporcionalidad[pic 9]

A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, la inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de EE.UU. desde 1790 hasta 1860. La E.D mencionada anteriormente aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante ciertos intervalos.

• Proceso de nacimiento-muerte

Los cambios en el número de integrantes de una población dependen de un balance entre el número de nacimientos y muertes. De esta forma podemos escribir:

[pic 10]

 número de nacimientos por individuo y por unidad de tiempo[pic 11]

 número de muertes por individuo y por unidad de tiempo[pic 12]

Podemos escribir, por tanto:

              siendo [pic 13][pic 14]

Es decir, la tasa intrínseca de crecimiento r resulta del balance entre las tasas intrínsecas de nacimientos y muertes.

• Datación con radiocarbono

Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles, basándose en que el isótopo carbono 14 que se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno, parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera.

El método se basa en que se sabe que el periodo medio del C-l4 radiactivo es, aproximadamente, 5600 años, el cual se usó para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.

• Análisis Compartimental

Se trata de describir mediante una función ) la cantidad de una sustancia que esté presente en un compartimento en el instante de tiempo . La idea básica de estos modelos está en una ley de conservación evidente: la tasa de cambio de la sustancia en el compartimento  será igual a la velocidad de entrada de la sustancia en el compartimento en el instante  menos la velocidad de salida de la misma:[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

Dado que las velocidades de entrada y salida de la sustancia en el compartimento dependen del proceso en cuestión, poco más podemos decir de manera general sobre este modelo.

• Ley de Newton del Calentamiento y Enfriamiento

Entre las aportaciones de Isaac Newton a la ciencia se encuentra la llamada “Ley de Newton del Calentamiento y Enfriamiento” que establece:

“La razón de cambio de la temperatura de un cuerpo en contacto con otro es proporcional a la diferencia de temperatura entre ambos”.

De esta manera, si  representa la temperatura del cuerpo en estudio y  es la temperatura otro cuerpo en contacto con él, o, en muchos casos, la temperatura del exterior o ambiente que rodea al cuerpo, entonces la ley de Newton queda establecida por medio de la siguiente ecuación diferencial:[pic 20][pic 21]

[pic 22]

 es la constante de proporcionalidad (obviamente positiva). [pic 23]

: temperatura exterior o ambiente[pic 24]

Analizando la solución se observa que la Ley de Newton predice que con el paso del tiempo la temperatura del cuerpo tiene a de manera asintótica.[pic 25]

• Desintegración Radiactiva

Entre 1900 y 1902, Rutherford y Soddy estudiaron la desintegración de la materia por emisión de radiactividad. Aunque existían algunos experimentos previos, los resultados que obtuvieron fueron realmente revolucionarios, pues se “rompía” definitivamente la idea de indestructibilidad de la materia. Las observaciones experimentales que realizaron los llevaron a proponer que la cantidad de núcleos atómicos  de una sustancia radiactiva que se desintegran en un intervalo de tiempo  es directamente proporcional al número de núcleos presentes, , y al intervalo . Es decir:[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

...