Ecuaciones lineales homogeneas

Universidad Tecnológica de Puebla[pic 1]

Carrera Energías Renovables

 [pic 2][pic 3]

Contenido

Introducción        3

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli        3

Paso 1: Confirmar ecuación diferencial de Bernoulli        3

Paso 2: Cambio de variable        3

Paso 3: Resolver la ecuación diferencial lineal        4

Paso 4: Obtener solución de ecuación diferencial de Bernoulli        4

Conclusión        4

Bibliografía        4

Introducción

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal. Esta situación se presenta para la ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial que tenga la forma

[pic 4]

con se denomina una ecuación diferencial de Bernoulli. Dicha ecuación no es lineal, ya que el segundo término de la igualdad viene en función de la variable dependiente y.

Para encontrar la solución general, es conveniente considerar una ecuación equivalente que sea lineal, para ello multiplicamos la ecuación dada por, quedando la ecuación en la forma

[pic 5]

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones del tipo: [pic 6], donde n≠0 y n≠1, ya que en esos casos estaríamos ante una ecuación diferencial lineal.

Se resuelven aplicando el cambio de variable: z=y1-n, donde z(x) es la nueva función incógnita, con lo que tendremos en cuenta que: [pic 7], o [pic 8].

El cambio aplicado convierte la ecuación diferencial de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal que resolveremos obteniendo z(x), para finalmente obtener y(x) a partir de la ecuación del cambio de variable.

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuación diferencial: [pic 9]

Paso 1: Confirmar ecuación diferencial de Bernoulli

Primero confirmo que se trata de una ecuación diferencial de Bernoulli.

[pic 10]

Paso 2: Cambio de variable

Ahora realizo el cambio de variable z=y3 en la ecuación, y su versión con las derivadas es:

[pic 11]

Sustituyo en la ecuación diferencial:

[pic 12]

[pic 13]

Llegamos a una ecuación diferencial lineal en z(x).

Paso 3: Resolver la ecuación diferencial lineal

La solución de la nueva ecuación diferencial viene dada por la suma de la solución homogénea y una solución particular: z=zh+zp.

• Solución homogénea: [pic 14]
• Solución particular: [pic 15]

Para encontrar C(x) en la solución particular utilizamos el método de la variación de la constante.

[pic 16]

Sustituimos la solución particular propuesta y su derivada en la ecuación diferencial lineal a resolver:

[pic 17]

[pic 18]

Una vez obtenida C(x) ya podemos plantear la solución particular:

[pic 19]

La solución final a la ecuación diferencial lineal en z(x) será, por lo tanto:

[pic 20]

Paso 4: Obtener solución de ecuación diferencial de Bernoulli

Deshacemos el cambio de variable z=y3 para obtener la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli y(x).

[pic 21]

La solución obtenida es en formato implícito, pero en este caso podemos obtener también la forma explícita de y(x).

[pic 22]

Conclusión

Para resolver estas ecuaciones debemos tener en cuenta que sean lineal y de primer orden y que su coeficiente es decir el P(x) va a depender de la variable independiente.

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