Ejemplos Soluciones en series de potencias alrededor de puntos ordinarios
Enviado por Angie García Ríos • 23 de Abril de 2021 • Apuntes • 266 Palabras (2 Páginas) • 246 Visitas
Ejemplos Soluciones en series de potencias alrededor de puntos ordinarios
Ejemplo: Resolver por series la E.D. alrededor del punto ordinario [pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
son puntos singulares, luego es un punto ordinario[pic 5][pic 6]
Como es un punto ordinario de la ED, la forma de la solución es[pic 7]
[pic 8]
Derivando dos veces
[pic 9]
[pic 10]
El la ED
[pic 11]
[pic 12]
Multiplicando
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Debemos combinar las sumatorias (Agruparlas en una sola sumatoria)
Homogenizar las potencias de x[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
Debemos homogenizar los índices
Para la primera sumatoria k=n
Para la segunda k=n-2, n=k+2
Para la tercera y cuarta k=n
[pic 23]
Luego
[pic 24]
Entonces
[pic 25]
Igualamos todos los coeficientes a cero
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Relación de recurrencia[pic 32]
[pic 33]
Relación de recurrencia[pic 34]
Para k=2
[pic 35]
Para k=3
[pic 36]
Para k=4
[pic 37]
Para k=5
[pic 38]
Luego
Como la forma de la solución es
[pic 39]
[pic 40]
Luego
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43][pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
La solución general es
[pic 47]
Ejemplo: Encuentre dos soluciones en series de potencia linealmente independientes alrededor del punto ordinario de la E.D. [pic 48]
[pic 49]
La forma de la solución es
[pic 50]
Derivando
[pic 51]
[pic 52]
En la ED
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
Homogenizamos las potencias de x[pic 56][pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
Homogenizar los índices de la sumatoria
La primera: k=n-1, n=k+1
La segunda: k=n-2, n=k+2
La tercera y cuarta: k=n
[pic 61]
Combinemos las sumatorias
[pic 62]
[pic 63]
Los coeficientes se igualan a cero
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
Iterando tenemos
Para k=1
[pic 68]
[pic 69]
Para k=2
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
Para k=3
[pic 74]
[pic 75]
[pic 76]
Para k=4
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
Recordemos que
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
Ejemplo: Encuentre dos soluciones en series de potencia linealmente independientes alrededor del punto ordinario de la E.D. [pic 86]
[pic 87]
La forma de la solución es
[pic 88]
Derivando
[pic 89]
[pic 90]
En la ED
Recuerden que
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
Realice operaciones indicadas
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