ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCION POR SERIE DE POTENCIAS
Enviado por richardrivas • 18 de Noviembre de 2015 • Trabajos • 683 Palabras (3 Páginas) • 134 Visitas
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ECUACIONES DIFERENCIALES
GRUPO: 100412_131
TRABAJO COLABORATIVO FASE 3 – UNIDAD 3
PRESENTADO POR:
JUAN CARLOS MEDINA PEÑA
CODIGO:
10141137
TUTOR:
RODOLFO LOPEZ GARIBELLO
CEAD: PALMIRA
NOVIEMBRE 08 DE 2015
ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCION POR SERIE DE POTENCIAS
- Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:
[pic 1]
Como , sustituimos y en la ecuación inicial y se nota que . [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
- Para determinar [pic 6]
Derivamos ambos lados de la ecuación inicial con respecto a , obteniendo así una expresión para en términos de y [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
[pic 11]
Se sustituye y [pic 12][pic 13]
[pic 14]
De igual manera derivando y sustituyendo,
[pic 15]
[pic 16]
- Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de:
[pic 17]
Sea [pic 18]
Si L<1 la serie converge.
Si L>1 la serie diverge.
Si L = 1 la prueba no decide.
[pic 19]
[pic 20]
Como el límite, L<1 la serie converge.
- Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:
[pic 21]
Si existe , entonces y [pic 22][pic 23][pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
El intervalo de convergencia es,
[pic 28]
- Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencia alrededor del punto x=0
[pic 29]
Se considera la solución como serie:
[pic 30]
Derivamos la ecuación anterior:
[pic 31]
Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar:
[pic 32]
Hacemos,
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
De aquí,
[pic 36]
[pic 37]
Hacemos que las sumatorias parta desde el mismo índice, k=1, hallando los términos de las sumatorias para k=0
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Para que la expresión sea igual a cero, tenemos:
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
Hacemos, y [pic 46][pic 47]
, , , [pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]
Solución 1:
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
Hacemos, y [pic 55][pic 56]
, , , [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]
Solución 2:
[pic 61]
[pic 62]
Por lo tanto la solución general de la ecuación es:
[pic 63]
- Resolver por series la ecuación diferencial:
[pic 64]
Se considera la solución como serie:
[pic 65]
Derivamos la ecuación anterior:
[pic 66]
Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar:
[pic 67]
Hacemos,
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
De aquí,
[pic 71]
[pic 72]
Hacemos que las sumatorias parta desde el mismo índice, k=2, hallando los términos de las sumatorias para k=0
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Para que la expresión sea igual a cero, tenemos:
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
...