ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCIÓN POR SERIES DE POTENCIAS
Enviado por juan carlos restrepo • 26 de Diciembre de 2015 • Tareas • 603 Palabras (3 Páginas) • 515 Visitas
TRABAJO COLABORATIVO Fase3
MARIA GOMEZ CHAPARRO
COD: 46382933
SANDRA PAOLA SERRANO
COD: 46379157
DIANA CAROLINA ALFONSO
COD: 10575578588
LAURA LIZETH TIBADUIZA
COD: 1.057.587.176
WILSON GUILLERMO DIAZ
COD: 9636499
TUTOR:
ADRIANA GRANADOS COMBA
GRUPO:
100412_272
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD-.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Noviembre, 2015
ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCIÓN POR SERIES DE POTENCIAS
- Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor
[pic 1]
Como: y(0)=0, y’(0)=1
[pic 2]
Se sustituye: x=0,y(0)=0, y’(0)=1:
[pic 3]
Derivando y sustituyendo:
[pic 4]
[pic 5]
Obteniendo el siguiente polinomio de Taylor de grado 3 como:
[pic 6]
[pic 7]
El cual corresponde a la solución de la ecuación diferencial planteada con al condición de frontera especificada.
- Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de:
[pic 8]
El criterio del cociente dice que:
[pic 9]
En series de la forma:
[pic 10]
[pic 11]
Donde el conjunto de convergencia es:
[pic 12]
- Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:
[pic 13]
Empleando el criterio del cociente:
[pic 14]
Eso quiere decir que el radio de convergencia es:
[pic 15]
El intervalo de convergencia es:
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
- Hallar la solución general de las siguiente ecuación como una serie potencial alrededor del punto x=0:
[pic 19]
Se toma y de la forma:
[pic 20]
Y ahora derivando término a término se obtiene que:
[pic 21]
[pic 22]
Sustituyendo esto en la ecuación diferencial se llega a:
[pic 23]
Ahora debe hacerse el arreglo de los índices de las sumatorias:
Se hace:
[pic 24]
Para así obtener:
[pic 25]
Terminando de ajustar los cambios de índices según el criterio mencionado, la ecuación queda como:
[pic 26]
Quedando todo dentro de la misma sumatoria:
[pic 27]
Al igualar coeficientes a cero se puede determinar que:
[pic 28]
[pic 29]
Ahora para determinar los demás coeficientes:
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
Ahora es claro que los coeficientes como a0 y a1 no tienen restricciones:
[pic 38]
[pic 39]
De donde surgen dos soluciones que son linealmente independientes:
[pic 40]
[pic 41]
- Resolver por series la ecuación diferencial:
[pic 42]
Tomando
[pic 43]
Y sustituyendo en la ecuación diferencial:
[pic 44]
[pic 45]
Reindexando y ajustando series:
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
Asumiendo que a(0) y a(1) son constantes arbitrarias:
[pic 49]
[pic 50]
...