Soluciones en Series de Potencias

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TABLA DE CONTENIDO

1. Prologo.

1. Series de potencia.

1. Introducción.
2. Teorema (sobre la propiedad analítica de la solución).
3. Teorema (sobre el desarrollo de la solución en serie generalizada de potencias).

1. Transformada de Laplace.

1. Inversa de la transformada de Laplace.

1. Ejercicios resueltos.

1. Bibliografía.

1. Prologo

Iniciamos este documento con el fin de afianzarnos en los temas de la transformada de Laplace y series de potencia, hemos dado un tratado especial a estos dos temas por ser de uso cotidiano en las carreras profesionales de ciencias de las matemáticas e ingeniería. Exponemos una teoría concreta con problemas que motivan la solución de otros ejercicios propuestos por los libros guías, la selección de los temas se hace con base a la experiencia adquirida en la docencia universitaria de nuestro profesor, el comienzo del análisis de los temas propuestos empieza con el estudio de Series de Potencia y Transformada de Laplace. La lectura del siguiente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de los cálculos diferencial e integral y de las series de potencia.

1. SERIES DE POTENCIAS

1. Introducción

Algunas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes variables pueden resolverse utilizando series de potencias. El procedimiento consiste en suponer una solución de la forma:

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Luego, derivamos

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y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial con la expectativa de determinar una relación de recurrencia que producirá los coeficientes . Para hacer lo anterior es importante que usted se vuelva experto en la simplificación de la suma de dos o más series de potencias, cada serie expresada en notación sigma, a una expresión con una sola ∑. La combinación de dos o más sumatorias como una sola sumatoria a menudo requiere una reindización, esto es, un corrimiento en el índice de la sumatoria. Para sumar dos series escritas en notación sigma es necesario que:[pic 5]

• Ambos índices de la sumatoria inicien con el mismo número.

• Las potencias de x en cada serie estén en “fase”, esto es, si una serie empieza con, digamos, x como la primera potencia, entonces deseamos que la otra serie empiece con la misma potencia.

Ejemplo 1

Encuentre una solución en serie de potencias de [pic 6]

Solución: Al sustituir   en la ecuación diferencial y utilizar (2) tenemos:[pic 7]

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En cada serie sustituimos ahora k por el exponente en x. En la primera serie usamos            y en la segunda serie,  . De tal modo que en la primera serie           cuando    y en la segunda serie cuando  .[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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Puesto que ambas series empiezan con   escribimos el primer término de la primera serie fuera de la notación de sigma y después combinamos las dos series:[pic 15]

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Puesto que la última igualdad es una identidad, el coeficiente de cada potencia de x debe ser cero. (Los coeficientes correspondientes de series de potencias iguales son ellos mismos iguales). Esto es,

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Como  para todos los valores de k, podemos resolver (3) para   en términos de  :[pic 19][pic 20][pic 21]

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Ahora    indica evidentemente que . Pero la expresión en (4), denominada relación de recurrencia, determina las restantes  de manera tal que podamos elegir cierto subconjunto de estos coeficientes que sean distintos de cero. Dejando que k tome los enteros sucesivos indicados, (4) genera coeficientes consecutivos de la solución supuesta uno a la vez:[pic 23][pic 24][pic 25]

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Y así sucesivamente. Debe ser claro que tanto  y  son arbitrarios. En este caso,[pic 30][pic 31]

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Una serie de potencias representará una solución de la ecuación diferencial en algún intervalo de convergencia. Puesto que el patrón de coeficientes en el ejemplo 1 es claro, podemos escribir la solución en términos de notación de sumatoria. Utilizando las propiedades del factorial tenemos:

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La prueba del cociente puede utilizarse en las formas (5) y (6) para demostrar que cada serie converge sobre el intervalo .[pic 40]

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